Apprends les Matrices Facilement: Cours et Exercices PDF

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Cedrine Fourré

12/05/2023

Maths

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Apprends les Matrices Facilement: Cours et Exercices PDF

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

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Les matrices cours et exercices corrigés PDF présentent une introduction complète aux concepts fondamentaux des matrices et leurs opérations. Ce document mathématique essentiel couvre la définition des matrices, les combinaisons linéaires, le produit matriciel, la transposition et l'inversibilité.

Points clés :

Présentation détaillée de la matrice définition et ses différents types
Explication approfondie du produit de deux matrices formule
Étude des propriétés des combinaisons linéaires
Analyse de l'inversibilité des matrices carrées

...

12/05/2023

906

MATHS
rattris
I) Matrices
1. Notion de matrice
Définition: Soit ne Netp & №", une matrice à `n lignes et p colones à coefficient riels est d

Voir

3. Produit matriciel

Le produit matriciel est une opération fondamentale, différente des opérations terme à terme :

Définition pour une matrice ligne et une matrice colonne
Définition générale pour deux matrices compatibles

Définition: Le produit matriciel AB de deux matrices A et B compatibles est défini par (AB)_ij = Σ_k a_ik * b_kj.

Example: Pour A = (a_1, a_2, ..., a_p) et B une matrice colonne, AB = a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_pb_p.

Les propriétés importantes du produit matriciel sont présentées, notamment l'associativité et la distributivité.

4. Transposition

La transposition est une opération qui échange les lignes et les colonnes d'une matrice :

Définition: La transposée A^T d'une matrice A est obtenue en échangeant ses lignes et ses colonnes.

Les propriétés de la transposition sont détaillées, incluant (A^T)^T = A et (AB)^T = B^T A^T.

5. Puissance de matrices

Pour les matrices carrées, on définit les puissances :

Définition: La puissance n-ième d'une matrice carrée A est définie par A^n = A * A * ... * A (n fois).

Les propriétés des puissances de matrices sont énoncées, y compris la formule du binôme de Newton matricielle pour les matrices qui commutent.

Voir

II) Inversibilité

Cette section traite de l'inversibilité des matrices carrées :

Définition: Une matrice A est inversible s'il existe une matrice B telle que AB = BA = I_n.

Les conditions d'inversibilité et les propriétés des matrices inverses sont présentées :

Unicité de l'inverse
Inverse de la transposée
Inverse du produit

Highlight: Pour prouver qu'une matrice A est inversible, il suffit de trouver une matrice B telle que AB = BA = I_n.

Le cours se termine sur l'inversibilité des matrices diagonales, fournissant une condition nécessaire et suffisante pour leur inversibilité.

Example: Une matrice diagonale D = diag(d_1, ..., d_n) est inversible si et seulement si tous les d_i sont non nuls. Son inverse est alors D^(-1) = diag(1/d_1, ..., 1/d_n).

Ce résumé du cours sur les matrices offre une base solide pour comprendre les concepts fondamentaux et les opérations matricielles, essentiels en algèbre linéaire et dans de nombreuses applications mathématiques.

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Page 4 : Inversibilité des Matrices

La dernière page aborde l'inversibilité des matrices carrées, concept fondamental en algèbre linéaire.

Definition: Une matrice A est inversible s'il existe une matrice B telle que AB = BA = In.

Highlight: L'inverse d'une matrice, quand elle existe, est unique et se note A⁻¹.

Example: Pour une matrice diagonale, l'inversibilité est conditionnée par la non-nullité de tous ses éléments diagonaux.

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3. Produit matriciel

Le produit matriciel est une opération fondamentale, différente des opérations terme à terme :

Définition pour une matrice ligne et une matrice colonne
Définition générale pour deux matrices compatibles

Définition: Le produit matriciel AB de deux matrices A et B compatibles est défini par (AB)_ij = Σ_k a_ik * b_kj.

Example: Pour A = (a_1, a_2, ..., a_p) et B une matrice colonne, AB = a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_pb_p.

Les propriétés importantes du produit matriciel sont présentées, notamment l'associativité et la distributivité.

4. Transposition

La transposition est une opération qui échange les lignes et les colonnes d'une matrice :

Définition: La transposée A^T d'une matrice A est obtenue en échangeant ses lignes et ses colonnes.

Les propriétés de la transposition sont détaillées, incluant (A^T)^T = A et (AB)^T = B^T A^T.

5. Puissance de matrices

Pour les matrices carrées, on définit les puissances :

Définition: La puissance n-ième d'une matrice carrée A est définie par A^n = A * A * ... * A (n fois).

Les propriétés des puissances de matrices sont énoncées, y compris la formule du binôme de Newton matricielle pour les matrices qui commutent.

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II) Inversibilité

Cette section traite de l'inversibilité des matrices carrées :

Définition: Une matrice A est inversible s'il existe une matrice B telle que AB = BA = I_n.

Les conditions d'inversibilité et les propriétés des matrices inverses sont présentées :

Unicité de l'inverse
Inverse de la transposée
Inverse du produit

Highlight: Pour prouver qu'une matrice A est inversible, il suffit de trouver une matrice B telle que AB = BA = I_n.

Le cours se termine sur l'inversibilité des matrices diagonales, fournissant une condition nécessaire et suffisante pour leur inversibilité.

Example: Une matrice diagonale D = diag(d_1, ..., d_n) est inversible si et seulement si tous les d_i sont non nuls. Son inverse est alors D^(-1) = diag(1/d_1, ..., 1/d_n).

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Page 4 : Inversibilité des Matrices

La dernière page aborde l'inversibilité des matrices carrées, concept fondamental en algèbre linéaire.

Definition: Une matrice A est inversible s'il existe une matrice B telle que AB = BA = In.

Highlight: L'inverse d'une matrice, quand elle existe, est unique et se note A⁻¹.

Example: Pour une matrice diagonale, l'inversibilité est conditionnée par la non-nullité de tous ses éléments diagonaux.

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I) Matrices

1. Notion de matrice

Une matrice est un tableau à double entrée de nombres réels. Les concepts clés incluent :

Taille d'une matrice : nombre de lignes (n) et de colonnes (p)
Matrices carrées, lignes, colonnes
Matrices particulières : identité, nulle, diagonale, triangulaire

Définition: Une matrice à n lignes et p colonnes à coefficients réels est donnée par un tableau à double entrée M = (m_ij) où 1 ≤ i ≤ n et 1 ≤ j ≤ p.

Vocabulaire: Coefficient m_ij, taille (n,p), matrice carrée si n=p, coefficients diagonaux.

Des types de matrices spécifiques sont présentés, comme la matrice identité, la matrice nulle, et les matrices diagonales et triangulaires.

Highlight: La matrice identité a tous ses coefficients nuls sauf les coefficients diagonaux qui valent 1.

Le cours aborde également la notion d'égalité entre matrices, essentielle pour le calcul matriciel.

2. Combinaisons linéaires de matrices

Cette section traite des opérations élémentaires sur les matrices :

Somme de matrices
Produit d'une matrice par un scalaire
Combinaison linéaire de matrices

Définition: La somme de deux matrices A et B de même taille est définie par (A+B)_ij = a_ij + b_ij.

Définition: Le produit d'une matrice A par un scalaire λ est défini par (λA)_ij = λa_ij.

Les propriétés algébriques des combinaisons linéaires sont énoncées, formant la base du calcul matriciel résumé.

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Note moyenne de l'appli

20 M

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#1

Dans les palmarès des applications scolaires de 17 pays

950 K+

Les élèves publient leurs fiches de cours

Tu n'es toujours pas convaincu ? Regarde ce que disent les autres élèves ...

Louis B., utilisateur iOS

J'aime tellement cette application [...] Je recommande Knowunity à tout le monde ! !! Je suis passé de 11 à 16 grâce à elle :D

Stefan S., utilisateur iOS

L'application est très simple à utiliser et bien faite. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais :D

Lola, utilisatrice iOS