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Cours Complet sur les Vecteurs pour Collégiens - PDF

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Diana Charlie

03/07/2022

Maths

VECTEURS ET REPÉRAGE

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Maths

Cours Complet sur les Vecteurs pour Collégiens - PDF

Ce cours complet sur les vecteurs couvre les notions essentielles de repérage dans le plan, les coordonnées des vecteurs et la colinéarité. Il fournit des définitions, propriétés et méthodes clés pour maîtriser ces concepts mathématiques fondamentaux.

• Introduction aux repères du plan (orthogonaux et orthonormés)
• Calcul des coordonnées d'un vecteur graphiquement et algébriquement
• Opérations sur les vecteurs (addition, multiplication par un scalaire)
• Critères de colinéarité et utilisation du déterminant
• Nombreux exemples et exercices corrigés

...

03/07/2022

4119

I. Repère du plan Trois points distincts deux à deux O, I et J du plan forment un repère, que l'on peut noter (O, I, J). L'origine O et les

Voir

II. Coordonnées d'un vecteur

Cette section explique comment déterminer les coordonnées d'un vecteur dans un repère donné.

Définition: Les coordonnées d'un vecteur u tel que OM = u sont les coordonnées du point M dans le repère (O, i, j). On note u(x, y) ou u(x).

Deux méthodes sont présentées pour déterminer les coordonnées d'un vecteur :

  1. Par lecture graphique : en comptant les déplacements horizontaux et verticaux
  2. Par calcul algébrique : en utilisant les coordonnées des points d'origine et d'extrémité

Exemple: Pour le vecteur AB, on compte +3 carreaux horizontalement et +2 verticalement, donc AB = 3i + 2j et ses coordonnées sont (3, 2).

Une propriété importante est énoncée :

Propriété: Si A(xA, yA) et B(xB, yB) sont deux points, alors le vecteur AB a pour coordonnées (xB - xA, yB - yA).

Cette propriété est démontrée en utilisant la relation vectorielle AB = -OA + OB.

Highlight: La maîtrise du calcul des coordonnées d'un vecteur est fondamentale pour résoudre de nombreux problèmes de géométrie vectorielle.

I. Repère du plan Trois points distincts deux à deux O, I et J du plan forment un repère, que l'on peut noter (O, I, J). L'origine O et les

Voir

III. Opérations sur les vecteurs

Ce chapitre présente les principales opérations sur les vecteurs et leurs propriétés en termes de coordonnées.

Les propriétés suivantes sont énoncées pour deux vecteurs u(x, y) et v(x', y') dans un repère (O, i, j) :

  1. Égalité : u = v équivaut à x = x' et y = y'
  2. Addition : u + v a pour coordonnées (x + x', y + y')
  3. Multiplication par un scalaire : ku a pour coordonnées (kx, ky)

Exemple: Si u(3, 2) alors -u(-3, -2)

Ces propriétés sont illustrées par des exemples de calculs :

Exemple: Calcul des coordonnées de 3AB, 4CD et 3AB - 4CD à partir des coordonnées de AB et CD.

Une méthode est également présentée pour calculer les coordonnées d'un point défini par une égalité vectorielle, comme dans le cas d'un parallélogramme.

Highlight: Ces opérations sur les coordonnées des vecteurs sont essentielles pour résoudre des problèmes géométriques complexes.

I. Repère du plan Trois points distincts deux à deux O, I et J du plan forment un repère, que l'on peut noter (O, I, J). L'origine O et les

Voir

IV. Colinéarité de deux vecteurs

Cette partie traite de la notion importante de colinéarité entre deux vecteurs.

  1. Critère de colinéarité

Propriété: Deux vecteurs u(x, y) et v(x', y') sont colinéaires si et seulement si xy' - yx' = 0.

Cette propriété est démontrée rigoureusement, en considérant les cas où l'un des vecteurs est nul ou non.

Exemple: Vérification de la colinéarité pour les vecteurs u(-4, -7) et v(12, 21) en appliquant le critère.

  1. Déterminant de deux vecteurs

Définition: Le déterminant de deux vecteurs u(x, y) et v(x', y') est det(u, v) = xy' - yx'.

Propriété: Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul.

Des exemples sont fournis pour illustrer l'utilisation du déterminant dans la vérification de la colinéarité.

Highlight: La colinéarité est un concept clé en géométrie vectorielle, utilisé dans de nombreuses applications et démonstrations.

I. Repère du plan Trois points distincts deux à deux O, I et J du plan forment un repère, que l'on peut noter (O, I, J). L'origine O et les

Voir

V. Exercices et applications

Cette dernière partie propose des exercices pratiques pour appliquer les notions vues dans le cours.

Différents types d'exercices sont présentés :

  1. Calcul de coordonnées de vecteurs dans divers repères
  2. Vérification de la colinéarité de vecteurs
  3. Résolution de problèmes géométriques utilisant les propriétés des vecteurs

Exemple: Déterminer les coordonnées d'un point D tel que ABCD soit un parallélogramme, connaissant les coordonnées de A, B et C.

Ces exercices permettent de consolider la compréhension des concepts et d'acquérir de l'aisance dans les calculs vectoriels.

Highlight: La pratique régulière d'exercices variés est essentielle pour maîtriser les techniques de calcul vectoriel et leurs applications en géométrie.

I. Repère du plan Trois points distincts deux à deux O, I et J du plan forment un repère, que l'on peut noter (O, I, J). L'origine O et les

Voir

Conclusion

Ce cours complet sur les vecteurs PDF fournit une base solide pour comprendre et utiliser les vecteurs dans le plan. Il couvre les notions essentielles de repérage, de coordonnées et d'opérations vectorielles, en mettant l'accent sur la colinéarité.

Les points clés à retenir sont :

  • La définition et l'utilisation des différents types de repères (orthogonal, orthonormé)
  • Le calcul des coordonnées d'un vecteur par méthode graphique et algébrique
  • Les opérations sur les vecteurs (addition, multiplication par un scalaire)
  • Les critères de colinéarité et l'utilisation du déterminant

Ce cours, accompagné de nombreux exemples et exercices corrigés, constitue une ressource précieuse pour les élèves de seconde et au-delà, préparant efficacement aux applications plus avancées de la géométrie vectorielle.

I. Repère du plan Trois points distincts deux à deux O, I et J du plan forment un repère, que l'on peut noter (O, I, J). L'origine O et les

Voir

I. Repère du plan

Ce chapitre introduit la notion fondamentale de repère du plan en géométrie vectorielle.

Un repère du plan est défini par trois points distincts O, I et J, ou de manière équivalente par un point O et deux vecteurs non colinéaires i et j. On le note (O, I, J) ou (O, i, j).

Définition: Un repère du plan est tout triplet (O, i, j) où O est un point et i et j sont deux vecteurs non colinéaires.

Deux types particuliers de repères sont présentés :

  • Le repère orthogonal où i et j ont des directions perpendiculaires
  • Le repère orthonormé qui est orthogonal avec i et j de norme 1

Vocabulaire: Un repère orthonormé est un repère orthogonal où les vecteurs de base ont une longueur unitaire.

Ces notions sont illustrées par des schémas montrant la différence entre un repère quelconque, orthogonal et orthonormé.

Highlight: La compréhension des différents types de repères est essentielle pour le repérage dans le plan et les calculs vectoriels.

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L'application est très simple à utiliser et bien faite. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais :D

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II. Coordonnées d'un vecteur

Cette section explique comment déterminer les coordonnées d'un vecteur dans un repère donné.

Définition: Les coordonnées d'un vecteur u tel que OM = u sont les coordonnées du point M dans le repère (O, i, j). On note u(x, y) ou u(x).

Deux méthodes sont présentées pour déterminer les coordonnées d'un vecteur :

  1. Par lecture graphique : en comptant les déplacements horizontaux et verticaux
  2. Par calcul algébrique : en utilisant les coordonnées des points d'origine et d'extrémité

Exemple: Pour le vecteur AB, on compte +3 carreaux horizontalement et +2 verticalement, donc AB = 3i + 2j et ses coordonnées sont (3, 2).

Une propriété importante est énoncée :

Propriété: Si A(xA, yA) et B(xB, yB) sont deux points, alors le vecteur AB a pour coordonnées (xB - xA, yB - yA).

Cette propriété est démontrée en utilisant la relation vectorielle AB = -OA + OB.

Highlight: La maîtrise du calcul des coordonnées d'un vecteur est fondamentale pour résoudre de nombreux problèmes de géométrie vectorielle.

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III. Opérations sur les vecteurs

Ce chapitre présente les principales opérations sur les vecteurs et leurs propriétés en termes de coordonnées.

Les propriétés suivantes sont énoncées pour deux vecteurs u(x, y) et v(x', y') dans un repère (O, i, j) :

  1. Égalité : u = v équivaut à x = x' et y = y'
  2. Addition : u + v a pour coordonnées (x + x', y + y')
  3. Multiplication par un scalaire : ku a pour coordonnées (kx, ky)

Exemple: Si u(3, 2) alors -u(-3, -2)

Ces propriétés sont illustrées par des exemples de calculs :

Exemple: Calcul des coordonnées de 3AB, 4CD et 3AB - 4CD à partir des coordonnées de AB et CD.

Une méthode est également présentée pour calculer les coordonnées d'un point défini par une égalité vectorielle, comme dans le cas d'un parallélogramme.

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IV. Colinéarité de deux vecteurs

Cette partie traite de la notion importante de colinéarité entre deux vecteurs.

  1. Critère de colinéarité

Propriété: Deux vecteurs u(x, y) et v(x', y') sont colinéaires si et seulement si xy' - yx' = 0.

Cette propriété est démontrée rigoureusement, en considérant les cas où l'un des vecteurs est nul ou non.

Exemple: Vérification de la colinéarité pour les vecteurs u(-4, -7) et v(12, 21) en appliquant le critère.

  1. Déterminant de deux vecteurs

Définition: Le déterminant de deux vecteurs u(x, y) et v(x', y') est det(u, v) = xy' - yx'.

Propriété: Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul.

Des exemples sont fournis pour illustrer l'utilisation du déterminant dans la vérification de la colinéarité.

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  1. Calcul de coordonnées de vecteurs dans divers repères
  2. Vérification de la colinéarité de vecteurs
  3. Résolution de problèmes géométriques utilisant les propriétés des vecteurs

Exemple: Déterminer les coordonnées d'un point D tel que ABCD soit un parallélogramme, connaissant les coordonnées de A, B et C.

Ces exercices permettent de consolider la compréhension des concepts et d'acquérir de l'aisance dans les calculs vectoriels.

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  • La définition et l'utilisation des différents types de repères (orthogonal, orthonormé)
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I. Repère du plan

Ce chapitre introduit la notion fondamentale de repère du plan en géométrie vectorielle.

Un repère du plan est défini par trois points distincts O, I et J, ou de manière équivalente par un point O et deux vecteurs non colinéaires i et j. On le note (O, I, J) ou (O, i, j).

Définition: Un repère du plan est tout triplet (O, i, j) où O est un point et i et j sont deux vecteurs non colinéaires.

Deux types particuliers de repères sont présentés :

  • Le repère orthogonal où i et j ont des directions perpendiculaires
  • Le repère orthonormé qui est orthogonal avec i et j de norme 1

Vocabulaire: Un repère orthonormé est un repère orthogonal où les vecteurs de base ont une longueur unitaire.

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