fonction linéaire

Légende alternative :

cette situation de proportionnalité par une fonction f définie par : f: x 1,50 x. On dit que cette situation est modélisée par la fonction f. Une telle fonction est appelée fonction linéaire de coefficient 1,50. 2- définition a étant un nombre donné. La fonction linéaire de coefficient a est la fonction qui, à un nombre x associe le nombre ax. On note: f: x → ax. Exemple: On considère la fonction g définie par : g: x → -5x Quelle est l'image de -2 par g? Quel est l'antécédent de 15 par g? On peut faire un tableau de valeurs pour la fonction 9 -2 -1 1 2 5 -5 -10 g(x) 10 Ce tableau est un tableau de proportionnalité dont le coefficient est -5. 3- Propriétés O 0 Propriété A toute situation de proportionnalité de coefficient de proportionnalité a, on peut associer une fonction linéaire de coefficient a. Exemple: Le périmètre P d'un carré est proportionnel à la longueur de son côté x. On peut définir une fonction linéaire P qui permet de modéliser cette situation de proportionnalité. On a : P: x → 4x L'égalité : P(3) = 12 signifie qu'un carré de côté 3 a un périmètre égal à 12. Par contre P(-2) = -8 ne signifie rien pour la situation étudiée. Propriété Soit f une fonction linéaire de coefficient a •f(0) = 0 .f(1) = a .si a 0, tout nombre admet un seul antécédent par cette fonction. Exemple: On considère la fonction h définie par h : x → 344 X •h(0) = ² x 0 = 0 • h(1) = ³ × 1 = ³/ • L'équation : h(x) = -admet une unique solution -3. . 4- Représentation graphique Propriété Dans un repère, représentation graphique d'une fonction linéaire de coefficient a est une droite qui passe par l'origine du repère. Tous les points de cette droite ont des coordonnées (x; y) telles que: y = ax. On appelle a le coefficient directeur de la droite. On dit que y = ax est l'équation de cette droite. Remarques: La droite représentant la fonction linéaire de coefficient a passe, en particulier, par le point de coordonnées (1 ;a). . Si les coordonnées (x; y) d'un point vérifient : y = ax, alors ce point appartient à la droite représentant la fonction linéaire de coefficient a. Exemple: Représenter graphiquement la fonction linéaire : f : x → 3x. La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite d passant par l'origine. Pour tracer la droite (d), il faut déterminer les coordonnées d'un deuxième point de (d). Par exemple: f(2)= 3 x 2 = 6. Le point A de coordonnées (2:6) appartient à la droite (d). a>0 -4 3 Droite « monte >> -2 -1 5 4- a=0 3 2 0 1 Le point B de coordonnées (15:46) appartient-il à (d)? Lire graphiquement l'image de -1 par f. Lire graphiquement l'antécédent de 4,5 par f. 3 Interprétation graphique du coefficient directeur a<0 Droite est confondue avec l'axe des abscisses Droite « descend >> 5- Application Déterminer la fonction linéaire f telle que : f(3) = 5 On note a le coefficient de la fonction linéaire f. L'expression algébrique de f est de la forme : f : x → ax Or, d'après l'énoncé, f(3) = 5 donc a x 3 = 5 soit a = 33 La fonction linéaire f est définie par : f : x → x + ²x III- Pourcentages Exemple: Un pantalon coûte 50€. Son prix subit une réduction de 30%. Calculer son nouveau prix P. 30 P = 50- x 50 = 35 100 Généralisons cette situation. On note x le prix initial du pantalon. Exprimer en fonction de x, le nouveau prix P après la réduction. P(x) = x - 30 100 P(x) = x x 1- P(x) = x x (1 100 Diminuer le prix x du pantalon de 30% revient à appliquer la fonction linéaire P: X → (1 - 300) Xx 30 100 30 XX xx Propriétés t est un nombre positif • Prendre t% d'un nombre revient à le multiplier par 100 • Augmenter un nombre de t% revient à le multiplier par (1+t) 100 On peut modéliser cette augmentation par la fonction linéaire x → (1 + • Diminuer un nombre de t% revient à le multiplier par (1) 178 On peut modéliser cette diminution par la fonction linéaire x → (1-15) x 100 Exemples: Un employé gagne 2100€. A la fin de l'année, son patron lui accorde une augmentation de 5% de son salaire. Calculer son nouveau salaire S. Augmenter un nombre de 5% revient à le multiplier par (1+5) soit 1,05. S = 1,05 x 2100 S = 2205 exercice tableur page 159 X