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23/03/2022
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PROPORTIONNALITE et FONCTION LINEAIRE I- Proportionnalité 1) Coefficient de proportionnalité Définition Deux listes de nombres sont proportionnelles lorsque l'on obtient chaque nombre de l'une en multipliant le nombre correspondant de l'autre par un même nombre a. Ce nombre a est appelé coefficient de proportionnalité. Exemples Reprenons l'exemple de l'activité Nombre de tickets 1 5 10 15 20 Prix payé en euros 1,5 7,5 15 22,5 30 1,5 7,5 15 22,5 30 = 1 5 10 15 20 = = ▪ Cherchons le prix à payer en euros pour un nombre de tickets égal à 30. Plusieurs méthodes sont envisageables. Egalité des produits en croix 20 30 30 20 x x = 30 x 30 30 ×30 20 avec le coefficient de proportionnalité 30 x x = = 45 20 30 X 1,50 30 * = 30 x 1,50 * = 45 en multipliant les quantités 20 30 30 1,5 X = 45 x 1,50 coefficient de proportionnalité en passant par l'unité. Un ticket coûte 1,50€, donc 30 tickets coûtent 30 fois plus cher soit : 30 x 1,50 = 45 2- Représentation graphique Propriété.Si une situation de proportionnalité est représentée graphiquement par des points, alors ces points sont alignés avec l'origine du repère. . • Réciproquement, si des points sont alignés avec l'origine du repère, alors cette droite représente une situation de proportionnalité. Exemple: Reprenons l'exemple des tickets Prendre 1cm pour 5 en abscisse 1cm pour 10 en ordonnées II- Fonction linéaire 1- Introduction Reprenons l'exemple de l'achat de tickets. On peut traduire...
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cette situation de proportionnalité par une fonction f définie par : f: x 1,50 x. On dit que cette situation est modélisée par la fonction f. Une telle fonction est appelée fonction linéaire de coefficient 1,50. 2- définition a étant un nombre donné. La fonction linéaire de coefficient a est la fonction qui, à un nombre x associe le nombre ax. On note: f: x → ax. Exemple: On considère la fonction g définie par : g: x → -5x Quelle est l'image de -2 par g? Quel est l'antécédent de 15 par g? On peut faire un tableau de valeurs pour la fonction 9 -2 -1 1 2 5 -5 -10 g(x) 10 Ce tableau est un tableau de proportionnalité dont le coefficient est -5. 3- Propriétés O 0 Propriété A toute situation de proportionnalité de coefficient de proportionnalité a, on peut associer une fonction linéaire de coefficient a. Exemple: Le périmètre P d'un carré est proportionnel à la longueur de son côté x. On peut définir une fonction linéaire P qui permet de modéliser cette situation de proportionnalité. On a : P: x → 4x L'égalité : P(3) = 12 signifie qu'un carré de côté 3 a un périmètre égal à 12. Par contre P(-2) = -8 ne signifie rien pour la situation étudiée. Propriété Soit f une fonction linéaire de coefficient a •f(0) = 0 .f(1) = a .si a 0, tout nombre admet un seul antécédent par cette fonction. Exemple: On considère la fonction h définie par h : x → 344 X •h(0) = ² x 0 = 0 • h(1) = ³ × 1 = ³/ • L'équation : h(x) = -admet une unique solution -3. . 4- Représentation graphique Propriété Dans un repère, représentation graphique d'une fonction linéaire de coefficient a est une droite qui passe par l'origine du repère. Tous les points de cette droite ont des coordonnées (x; y) telles que: y = ax. On appelle a le coefficient directeur de la droite. On dit que y = ax est l'équation de cette droite. Remarques: La droite représentant la fonction linéaire de coefficient a passe, en particulier, par le point de coordonnées (1 ;a). . Si les coordonnées (x; y) d'un point vérifient : y = ax, alors ce point appartient à la droite représentant la fonction linéaire de coefficient a. Exemple: Représenter graphiquement la fonction linéaire : f : x → 3x. La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite d passant par l'origine. Pour tracer la droite (d), il faut déterminer les coordonnées d'un deuxième point de (d). Par exemple: f(2)= 3 x 2 = 6. Le point A de coordonnées (2:6) appartient à la droite (d). a>0 -4 3 Droite « monte >> -2 -1 5 4- a=0 3 2 0 1 Le point B de coordonnées (15:46) appartient-il à (d)? Lire graphiquement l'image de -1 par f. Lire graphiquement l'antécédent de 4,5 par f. 3 Interprétation graphique du coefficient directeur a<0 Droite est confondue avec l'axe des abscisses Droite « descend >> 5- Application Déterminer la fonction linéaire f telle que : f(3) = 5 On note a le coefficient de la fonction linéaire f. L'expression algébrique de f est de la forme : f : x → ax Or, d'après l'énoncé, f(3) = 5 donc a x 3 = 5 soit a = 33 La fonction linéaire f est définie par : f : x → x + ²x III- Pourcentages Exemple: Un pantalon coûte 50€. Son prix subit une réduction de 30%. Calculer son nouveau prix P. 30 P = 50- x 50 = 35 100 Généralisons cette situation. On note x le prix initial du pantalon. Exprimer en fonction de x, le nouveau prix P après la réduction. P(x) = x - 30 100 P(x) = x x 1- P(x) = x x (1 100 Diminuer le prix x du pantalon de 30% revient à appliquer la fonction linéaire P: X → (1 - 300) Xx 30 100 30 XX xx Propriétés t est un nombre positif • Prendre t% d'un nombre revient à le multiplier par 100 • Augmenter un nombre de t% revient à le multiplier par (1+t) 100 On peut modéliser cette augmentation par la fonction linéaire x → (1 + • Diminuer un nombre de t% revient à le multiplier par (1) 178 On peut modéliser cette diminution par la fonction linéaire x → (1-15) x 100 Exemples: Un employé gagne 2100€. A la fin de l'année, son patron lui accorde une augmentation de 5% de son salaire. Calculer son nouveau salaire S. Augmenter un nombre de 5% revient à le multiplier par (1+5) soit 1,05. S = 1,05 x 2100 S = 2205 exercice tableur page 159 X