Légende alternative :

2, 3, 6, 9 et 18. Et le PGCD (Plus Grand Diviseur Commun) est 6 PGCD: plus grand commun diviseur PPCM: plus petit commun multiple nombres premiers: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41.. Théorème de Thalès: AM AB ☐ Soit un triangle ABC tel que AB = 6 cm et AC = 9 cm. M est un point du segment [AB] tel que AM = 2 cm. N est un point du segment [AC] tel que la droite (MN) est parallèle à la droite (BC). Combien mesure la longueur AN ? Les droites (BM) et (CN) sont sécantes en A. = Les droites (MN) et (BC) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès: AN AC MATHÉMATIQUES MN BC On cherche AN alors: AM AN AB AC → ²/² 6 = AN 9 On fait un produit en croix, 2x9÷6=3 cm. Soit deux droites (MB) et (CN) sécantes en A. On donne AB = 10 cm, AM = 5 cm et BC = 12 cm. De plus, les droites (MN) et (BC) sont parallèles. Combien mesure la longueur MN? Les droites (MB) et (CN) sont sécantes en A. Les droites (MN) et (BC) sont parallèles. . . D'après le théorème de Thalès: On cherche MN, alors AM MN AB BC 5 10 MN 12 = 2 x x+2x4 On fait un produit en croix, 5x12÷10=6 cm. pour Thalès: les droites doivent être parallèles (Il y a deux triangles, 2 des côtés sont parallèles) Réciproque et contraposée du théorème de Thalès: Dans la figure 1, on donne: AB = 6 cm, AM = 8 cm, AC = 9 cm, AN = 12 cm. Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ? Les points A, M, B d'une part et A, N, C d'autre part sont alignés dans le même ordre AM 8 12 AB 9 AN AC A = 5(x+1)+ x(x+1) = (x+1) (5+x) AM AB L'égalité de Thalès est vérifiée. Donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (BC) sont AN AC parallèles. (dans le cas contraire on parle de contraposée du théorème de Thalès) pour la réciproque: Il y a deux triangles, on peut prouver que deux côtés sont parallèles 0 Calcul littéral: réduire une expression: A = 3x-2x² +7 -6x +10x² +9 A = 8x²-3x +16 Développer un produit consiste à le transformer en une somme ou une différence. click distributivité: A = 2 (x+4) = 2x+8 Il faut bien ordonner l'expression (x² avant les x...) double distributivité: A = (2+ x)(4x - 3) A = 2 x 4x + 2x (-3) + xx 4x+xx (-3) A = 8x 6+ 4x2 - 3x A = 4x + 5x-6 MN BC B = (x-1)(2x+3)+(x-1)(5x-2) On regroupe les termes de la même famille (x² avec les x²..) pour pouvoir les additionner/soustraire entre eux factorisation: Factoriser une somme ou une différence consiste à la transformer en un produit. Il faut identifier le facteur commun : . . . = (x-1) (2x+3+5x-2) = (x-1)(7x+1) identités remarquables (a + b)² = a¹ + 2 xqxb + b² Calcul numérique: Une fraction est une division effectuée entre deux nombres entiers relatifs. Le nombre du haut s'appelle le numérateur et le nombre du bas s'appelle le dénominateur. Additionner / multiplier / diviser des fractions: Lorsque les fractions ont le même dénominateur, on peut additionner leurs numérateurs. 4+6 10 5 Si les dénominateurs sont différents, il faut toujours réduire les deux fractions au même dénominateur. 3x2 7x5 6+35 3/²+1/2 = 5x2 2x5 10 Puissances: 4° = 1 4¹=4 a = 3/3²/2² 24 8 15 a Pour multiplier deux fractions entre elles, il suffit de multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. 8 ²x² = 3x4=21 Lorsqu'on divise une fraction par une autre fraction, on multiplie la première fraction par l'inverse de la deuxième fraction. (a - b)² = a¹ - 2 xqxb+b² = 2²= (Lorsque 2² est négatif le résultat n'est pas forcément négatif) 10¹-10 000 (autant de 0 que l'exposant) calculer des exposants: axa" = am → 7²x7² = 72+4=76 =am-n→ 77=72-4=7-2 41 10 (am)n=amxn (7²)"=72x4 = 78 axc= (axc)2x4¹=(2x4)*=8¹ (a + b)(a - b) =a²-b² la forme scientifique: 3x5² n'est pas un nombre écrit sous forme scientifique. En effet, on doit avoir des puissances de 10 ce qui n'est pas le cas ici (on a des puissances de 5). 2007 = 2,007 × 10³ 0, 04254, 25 x 10-² ☐ Statistiques: On appelle population l'ensemble des individus concernés par l'étude statistique, et caractère la propriété étudiée sur chacun d'entre eux. Si on réalise une enquête sur la couleur des voitures en France, l'individu statistique est une voiture et la population l'ensemble du parc automobile français. Le caractère étudié est la couleur de la voiture. Un caractère peut être de deux types: - quantitatif lorsqu'il est mesurable de façon numérique qualitatif dans les autres cas. Les valeurs prises par les caractères sont appelées les modalités. Un caractère quantitatif peut être discret, c'est à dire qu'il prend un nombre fini de valeurs, ou continu, prenant dans ce cas une infinité de valeurs. moyenne: Pierre, Anna, Jules et Yanis ont respectivement dans leur portefeuille : 20 €, 25 €, 12 € et 24 €. 20+25+12+24 M= -= 20, 25€ 4 médiane: On considère la série : 13-15-8-19-11-12-17. On range tout d'abord les valeurs de la série dans l'ordre croissant : 8 11 12 13 15 17 19 3 valeurs 3 valeurs Quand la série a un nombre impair de valeurs: 10-7-2-19-14 - 11. On range tout d'abord les valeurs de la série dans l'ordre croissant: 2 7 10 11 14 19 Me= (10+11)+2 = 10,5 3 valeurs étendu: L'étendue d'une série statistique est la différence entre la plus grande valeur et la plus petite valeur de la série. Voici les masses des cinq singes du zoo de Besançon : 11 kg - 6 kg - 10 kg - 3 kg - 4 kg. L'étendue de cette série est égale à 11-3 8 kg. = graphique: Diagramme en bâtons : est un graphique dans lequel les hauteurs des bâtons sont proportionnelles aux effectifs de chaque catégorie. 3 cm A Un histogramme: est un graphique dans lequel les hauteurs des rectangles sont proportionnelles aux effectifs de chaque classe, lorsque les classes ont la même amplitude. Un diagramme en barre: est un graphique dans lequel les hauteurs des barres sont proportionnelles aux effectifs de chaque catégorie. Un diagramme circulaire: est un graphique dans lequel les mesures de chaque angle sont proportionnelles aux effectifs de chaque catégorie. L'effectif total est de 360° Trigonométrie: m=13 3 valeurs 5 cm 4 cm Combien mesure l'angle ABC? AB= adjacent BC= hypotenuse AC = opposé Grâce au moyen mnémotechnique: SOHCAHTOA (Sinus = Opposé/Hypoténuse; Cosinus = Adjacent/Hypoténuse; Tangente = Opposé/Adjacent) AB On prend adjacent donc on utilise le cosinus. Pour trouver l'angle, il faut hypotenuse faire le rapport trigonométrique qui fait intervenir l'angle inconnu et les deux longueurs connues. = = La touche "arccos" de la calculatrice donne: ABC= arccos ; (²³²-) = ≈ 53° Pour calculer un angle toujours ARC à la calculatrice Pour calculer une longueur utiliser COS/SIN/TAN à la calculatrice Combien mesure la longueur BC ? AB= opposé BC= hypotenuse AC = adjacent cos(60)= 10 cm x ■ Fonctions: on dit que f(x) est l'image de par la fonction f antécédent → image (de l'antécédent) "image de 6" 6-antécédent 60 f(x) courbe: Si h(x) = -2x + 1 alors h(2) = -2x2+1= -3 L'image de 0 par la fonction h est h(0)= -2x0+1=1 en graphique: Traçons la courbe représentative de la fonction f (x)= 2-x x= antécédent f(x)= image tableau de valeurs: adjacent 10 hypotenuse BC On effectue le produit en croix : -3 5 -2 4 -1 10 cos(60) 3 0 2 20cm 1 1 2 on remarque que la courbe est une droite 0 3 f(x)→→ image/ en ordonné (donc vertical) x→antécédents/en abscisse (donc horizontal) A partir de ce graphique, nous pouvons lire les images d'autres points : par exemple, l'image de -4 est 6 (en rouge) * -1 Fonctions linéaires et affines: click une fonction affine: ax + b La représentation graphique est une droite Le nombre a est appelé coefficient directeur de la droite Le nombre best appelé ordonnée à l'origine de la droite La fonction f (x)=2x-1 est une fonction affine car f(x) = ax + b où a = 2 et b = -1. Quelle est l'image de 2? 2x2-1=3 Quelle est l'antécédent de 5 ? 5=2x-1 5+1=2x-1+1 6÷2=2x+2 pour déterminer le coefficient directeur d'une fonction affine? On veut déterminer les coefficients de la fonction affine f(2)= 4 et f(4) = 10. f est affine donc f(x) = ax + b avec : a = 1(4)-f(²)=4-10 -5 -3 → Donc f(x) = 3x + b. 6 3=x Il reste à déterminer la valeur de b. Pour cela, on utilise l'un des deux points connus. Comme f(2)= 4 alors 3 x 2 + b = 4. Donc 6+ b = 4 donc b = -2. Equations: Dans une équation faut "équilibrer" des deux côtés Résoudre l'équation (2x - 4) (3x + 9) = 0 Ainsi f(x)= 3x - 2 Dans la famille des fonctions affines il y a les fonctions lineaire qui sont juste des fonctions affines ou b=0 une fonction linéaire: ax (B= 0 dont on le met pas) La représentation graphique est une droite passant par l'origine du repère (situation de proportionnalité). Le nombre a est appelé coefficient directeur de la droite. La fonction f (x) = 2x est une fonction linéaire car f(x) = ax où a = 2. 2 et -3 sont les solutions de l'équation. Probabilités: L'équation (2x-4) (3x + 9) = 0 est une "équation produit nul". Ses solutions sont: (2x-4)= 0 ou (3x + 9) = 0 2x = 4 ou 3x = -9 x = 2 ou x = -3 résultats possibles=issues La probabilité d'une issue est un nombre compris entre 0 et 1. 2- 1 S O -2 (d) . ● ● ● . . La somme des probabilités de toutes les issues d'une expérience aléatoire est égale à 1. Quand chaque issue a autant de chance de se produire qu'une autre, on a une situation d'équiprobabilité. L'événement contraire de A → A 1er tirage R 4 4 2 2nd tirage B E R 14 1 D B R une expérience est équiprobable quand les issues d'une expérience ont la même probabilité - événement élémentaire : évènement réalisé par une seule issue possible - événement impossible : évènement qui ne peut pas être réalisé - événement certain : événement qui est toujours réalisé Solides: pour calculer le volume: pavé droit / parallélépipède rectangle → Lxlxh cylindre de révolution → A xh pour calculer l'aire: carré: coté x coté - événements incompatibles: 2 évènements qui ne peuvent pas se produire en même temps - événement contraire : évènement qui se réalise lorsqu'un premier événement n'est pas réalisé z HAxe des cotes pyramide →Abase xh cone de revolution →→ 4₁ base sphère/boule repérage cartésien: Axe des abscisses - Chemin correspondant à l'évènement << Tirer 2 boules blanches >> rectangle: largeur x longueur triangle rectangle: largeur x longueur ÷ 2 triangle: base x hauteur disque: πt x r² boule: 4 x π x r² Branche Noeud 3 πr³ F B G base xh Une urne a 2 boules blanches et 3 boules rouges. On tire une première boule puis une deuxième, sans remettre la première. La probabilité de tirer 2 boules blanches est égale à x-100 5 4 C y Axe des ordonnées Tout point M d'un parallélépipède rectangle peut être repéré à partir d'un sommet et des arêtes partant de ce sommet. Un point Mest repéré par trois nombres appelés les coordonnées de M: x, est l'abscisse de M M ■ Ум ZM est l'ordonnée de M est la côte (ou l'altitude) de M On note alors: M(x³y₁ ; Z..). M M Sections de solides: . . . La section d'un parallélépipède rectangle - → est un rectangle La section d'un cylindre de révolution parallèle à l'une de ses bases → est un cercle La section d'un cylindre de révolution perpendiculaire à l'une de ses bases → La section d'une pyramide ou d'un cône de révolution parallèle à la base → est une réduction de la base La section d'une sphère → est un cercle. est un rectangle coordonnées géographiques: Si on assimile la Terre à une sphère, on peut repérer un point à sa surface par deux coordonnées correspondant à des mesures d'angles : sa latitude et sa longitude. Pour cela, on utilise: Des parallèles qui sont des cercles dont les points ont la même latitude. Le parallèle de référence = L'Équateur : ses points ont pour latitude 0°. Des méridiens qui sont des demi-cercles passant par les pôles dont les points ont la même longitude. Le méridien de référence = le méridien de Greenwich : ses points ont pour longitude 0°. Les latitudes sont comprises entre 0 et 90° Nord ou Sud. Les longitudes sont comprises entre 0 et 180° Est ou Ouest. Proportionnalité: Deux grandeurs sont proportionnelles si les valeurs de l'une s'obtiennent en multipliant les valeurs de l'autre par un même nombre appelé coefficient de proportionnalité. Pour déterminer si deux grandeurs sont proportionnelles, on peut : chercher s'il y a un coefficient de proportionnalité pour passer d'une grandeur à l'autre. vérifier que la représentation graphique d'une grandeur en fonction d'une autre est une droite passant par L'origine du repère. → Calculer un pourcentage revient à exprimer un nombre, une statistique, une quantité comme une fraction de 100. Cela revient à effectuer un calcul de proportionnalité pour 100 personnes. Un concessionnaire a vendu 150 voitures le mois dernier. Parmi elles, 30% sont des citadines. Combien de citadines ce garage a-t-il vendu ? 150×3= 45 citadines Pour trouver un 4eme de proportionnelle → un produit en croix Une situation de proportionnalité est représentée par une droite passant par l'origine. Transformations de figures: • La symétrie axiale → c'est créer l'image de cette figure par pliage le long d'un axe de symétrie. (d) --C • La symétrie centrale → c'est faire tourner la figure d'un demi-tour autour d'un point O. • La translation → c'est créer l'image de cette figure par rapport à un glissement d'un point à un autre point (sans la tourner). Ce glissement est défini par une direction, un sens et une longueur. On peut le schématiser par des flèches. • La rotation → c'est faire tourner la figure autour d'un point. Une rotation est définie par un centre, un angle de rotation et un sens de rotation ("horaire" ou "antihoraire"). . Une homothétie → c'est créer l'image de cette figure par rapport à un centre et un rapport k OM' On appelle k= le rapport de l'homothétie : OM k>1 l'homothétie est un agrandissement k=1 l'homothétie ne modifie pas la figure k<1 l'homothétie est une réduction . Une frise est constituée d'un motif qui est reproduit dans une seule direction par translation. Un pavage est constitué d'un motif qui est reproduit dans deux directions par des translations et qui recouvre le plan sans trou ni superposition. Une rosace est constituée d'un motif qui est reproduit plusieurs fois par rotation Algorithme/Scratch: . -45° -90° (gauche) -135° 0° (haut) 180° (bas) 45° 135° FF M 90° (doite) M'