L'origine des notes de musique et leurs fondements mathématiques

Qu'est-ce qu'un son musical ?

• Un son est produit par des ondes de vibration de l'air
• Ces vibrations peuvent provenir d'objets en mouvement $comme une corde de guitare$
• Ou d'air entrant en résonance $comme dans un tuyau d'orgue$

Les caractéristiques des notes de musique

• Une note de musique est définie par sa fréquence fondamentale $mesurée en hertz$
• Plus la fréquence est basse, plus la note est grave
• Plus la fréquence est haute, plus la note est aiguë

Les relations entre les notes

• Un intervalle est le rapport des fréquences de deux notes
• Pour que deux notes sonnent bien ensemble $consonance$, l'intervalle doit être un nombre rationnel
• Une octave correspond à un rapport de 2 $les notes ont le même nom$
• Une quinte correspond à un rapport de 3/2

Concept clé : Une gamme est une série de notes contenues dans une même octave, avec des fréquences comprises entre f₁ et f₂ où f₂ = 2f₁, séparées par des intervalles réguliers.

L'héritage de Pythagore

• Au VIe siècle av. J.-C., Pythagore considérait la musique comme une science mathématique
• Il est à l'origine des notes de musique et du solfège occidental
• Il créa la première gamme musicale, appelée gamme pythagoricienne
• Cette gamme est basée sur les rapports des nombres rationnels, les seuls connus à l'époque

Construction mathématique des gammes musicales

La gamme pythagoricienne : un modèle mathématique

• Dans l'Antiquité, seuls les nombres rationnels étaient connus
• Les gammes jusqu'au XVIIIe siècle étaient construites sur ces rapports
• La gamme pythagoricienne utilise une suite géométrique de premier terme 1 et de raison 3/2

Notion mathématique : La gamme pythagoricienne est construite à partir d'une suite géométrique, concept mathématique étudié en classe de première, permettant de générer les fréquences des 7 notes de musique.

Le cycle des quintes

• La gamme de Pythagore à 7 notes est formée par une succession d'intervalles appelés quintes
• Chaque quinte correspond à un rapport de fréquences de 3/2
• Cette succession forme ce qu'on appelle le "cycle des quintes"

Les limites de la gamme pythagoricienne

• Elle présente des inconvénients comme "la quinte du loup" $quinte dissonante$
• Les intervalles entre les notes ne sont pas constants
• Cela pose un problème pour la transposition musicale

L'évolution vers d'autres gammes

• Au Moyen Âge, Zarlino a mis au point une gamme résolvant certains problèmes
• Les musiciens et mathématiciens ont cherché des gammes plus précises
• L'objectif était d'éliminer les écarts perceptibles entre les notes

La gamme tempérée : solution moderne

• La gamme tempérée $ou chromatique$ est la plus utilisée dans la musique moderne
• L'octave est divisée en 12 intervalles égaux appelés demi-tons
• Cette gamme utilise une suite géométrique de raison ¹²√2 $racine douzième de 2$
• Elle a été popularisée par Jean-Sébastien Bach
• Dans cette gamme, toutes les quintes sont identiques mais légèrement "fausses"

Modèles mathématiques et limites des gammes musicales

Les différences entre instruments

• Sur un piano, certaines notes différentes comme si# et do correspondent à la même touche
• Sur un violon, la position du doigt pour un si# sera légèrement différente de celle d'un do
• Cette différence illustre les limites des modèles mathématiques appliqués à la musique

Modèles discrets vs modèles continus

• Les suites géométriques représentent un modèle discret $valeurs isolées$
• Elles sont adaptées aux instruments à notes fixes comme le piano
• Les fonctions constituent un modèle continu $toutes les valeurs entre deux bornes$
• La fonction exponentielle permet de trouver les valeurs entre deux termes d'une suite

Application pratique : Le lien entre musique et mathématiques se manifeste concrètement dans les instruments de musique : les instruments à notes fixes $piano$ suivent un modèle discret, tandis que les instruments à notes continues $violon$ suivent un modèle continu.

Avantages et limites de la gamme tempérée

• Elle résout les problèmes de la gamme pythagoricienne
• Elle permet la transposition dans tous les tons
• Le nombre ²√2 étant irrationnel, il est difficile d'avoir des notes parfaitement justes

Questions en suspens

• Peut-on construire un instrument avec un nombre fini de notes toutes justes et des intervalles égaux?
• D'où viennent les noms actuels des notes de musique $do, ré, mi, fa, sol, la, si vs. notation américaine A, B, C, D, E$?
• Comment Pythagore a-t-il découvert l'harmonie musicale?

Symboles et notations des notes de musique

• Les notes ont des symboles spécifiques dans la notation musicale
• La notation occidentale diffère de la notation américaine $A, B, C, D, E, F, G$
• Ces deux systèmes de notation coexistent dans la musique moderne

Ce sujet est particulièrement pertinent pour le Grand Oral en enseignement scientifique, illustrant parfaitement le lien entre musique et mathématiques à travers l'histoire.