Signe de l'intégrale et intégration par parties
Ce chapitre approfondit les propriétés des intégrales en se concentrant sur le signe de l'intégrale et introduit la technique d'intégration par parties, une méthode d'intégration avancée essentielle pour résoudre des intégrales complexes.
Le chapitre commence par établir les conditions sous lesquelles une intégrale est positive ou négative, une connaissance cruciale pour l'analyse du comportement des fonctions intégrées.
Propriété: Pour a ≤ b, si fx ≥ 0 pour tout x dans a,b, alors ∫a,b fxdx ≥ 0. De même, si fx ≤ 0, alors ∫a,b fxdx ≤ 0.
Ensuite, le concept d'intégration d'une inégalité est présenté, permettant de comparer les intégrales de différentes fonctions sur le même intervalle.
Highlight: Si fx ≤ gx pour tout x dans a,b, alors ∫a,b fxdx ≤ ∫a,b gxdx.
La technique d'intégration par parties est introduite comme une méthode d'intégration puissante pour calculer les intégrales de produits de fonctions. Cette technique est particulièrement utile lorsqu'une intégrale ne peut pas être résolue directement par substitution ou par d'autres méthodes élémentaires.
Formule: La formule d'intégration par parties est : ∫a,b uxv'xdx = u(x)v(x)a,b - ∫a,b u'xvxdx.
Enfin, le chapitre aborde le calcul d'aires à l'aide d'intégrales, une application pratique importante du calcul intégral. Il présente des méthodes pour calculer l'aire sous une courbe, que la fonction soit positive, négative, ou change de signe.
Example: Pour une fonction f positive sur a,b, l'aire sous la courbe est donnée par ∫a,b fxdx. Pour une fonction négative, l'aire est -∫a,b fxdx.