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Mathématiques

Limites de Fonctions et Asymptotes

Formes Indéterminées

Maths333Mis à jour 18 sept. 20262 pages

Comprendre et calculer les limites avec formes indéterminées

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Jérémi@jeremi_hayoun
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Les formes indéterminées en limites, c'est un piège classique au bac ! Quand tu te retrouves face à "∞ - ∞" ou "∞/∞", pas de panique : il existe des techniques simples pour lever ces indéterminations et trouver la vraie limite.
Calculer les limites formes indéterminées – page 1

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Forme indéterminée "∞ - ∞"

Tu vas souvent tomber sur des expressions comme vn=n2−nv_n = n^2 - n où les deux termes tendent vers l'infini. C'est tentant de dire "∞ - ∞ = 0", mais c'est faux !

La technique magique : factoriser par le terme dominant. Ici, n2n^2 grandit plus vite que nn, donc on factorise par n2n^2. On obtient vn=n2(1−1n)v_n = n^2(1 - \frac{1}{n}).

Maintenant c'est du gâteau : n2n^2 tend vers +∞+∞ et (1−1n)(1 - \frac{1}{n}) tend vers 1. Donc vnv_n tend vers +∞+∞.

💡 Astuce : Dans une soustraction, c'est toujours le terme qui grandit le plus vite qui "gagne" !

Calculer les limites formes indéterminées – page 2

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Forme indéterminée "∞/∞"

Avec wn=n2+nn+2w_n = \frac{n^2 + n}{n + 2}, on a encore une forme indéterminée du type ∞∞\frac{∞}{∞}. Même principe : on factorise !

Au numérateur, on sort n2n^2 : n2(1+1n)n^2(1 + \frac{1}{n}). Au dénominateur, on sort nn : n(1+2n)n(1 + \frac{2}{n}). Ça donne wn=n(1+1n)1+2nw_n = \frac{n(1 + \frac{1}{n})}{1 + \frac{2}{n}}.

Les petites fractions 1n\frac{1}{n} et 2n\frac{2}{n} tendent vers 0, donc on se retrouve avec n×11=n\frac{n \times 1}{1} = n. Résultat : wnw_n tend vers +∞+∞.

💡 Méthode : Dans une fraction, compare les degrés du numérateur et du dénominateur pour anticiper le résultat !

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