Le produit scalaire : définitions et méthodes de calcul

Le produit scalaire entre deux vecteurs peut se calculer de plusieurs façons selon la situation. La méthode la plus directe utilise les normes et l'angle : $\vec{u}.\vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\alpha)$ où α est l'angle entre les deux vecteurs.

Quand tu travailles dans un repère orthonormé, c'est encore plus facile ! Si $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x';y')$, alors $\vec{u}.\vec{v} = xx' + yy'$. Tu multiplies les coordonnées correspondantes et tu additionnes.

Tu peux aussi utiliser la méthode par projection orthogonale. Si H est le projeté orthogonal de C sur la droite AB, le calcul dépend du sens des vecteurs : même sens, sens contraires, ou points confondus.

Astuce pratique : La méthode des coordonnées est souvent la plus rapide pour les exercices !

La décomposition de vecteurs te permet de diviser un calcul complexe en plusieurs étapes plus simples, en utilisant le fait que certains vecteurs perpendiculaires donnent un produit scalaire nul.