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Mathématiques

Fonctions logarithmiques et exponentielles

logarithme népérien

Maths343Mis à jour 25 sept. 20262 pages

Chapitre 1 — Logarithme népérien (ln) : fiche de révision simple

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Candice@candice_cnz
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Pourquoi la croissance d'une population ou l'échelle de Richter des séismes ne suivent-elles pas des courbes droites ? La réponse réside dans la fonction logarithme népérien, l'outil mathématique indispensable pour inverser l'exponentielle. Ce guide vous présente ses propriétés fondamentales, ses règles algébriques et son lien étroit avec les équations que vous devez maîtriser pour le bac. Vous saurez manipuler cette fonction et résoudre ses équations en un clin d'œil.
Chapitre 1 : Fonction logarithme népérien – page 1

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Base du logarithme népérien

Définition et variations

La fonction logarithme népérien, notée lnln, est la réciproque de la fonction exponentielle.

  • Domaine de définition : définie uniquement sur ]0;+∞[]0; +\infty[.
  • Dérivée : ln′(x)=1xln'(x) = \frac{1}{x}, elle est donc strictement croissante.
  • Valeurs clés : ln(1)=0ln(1) = 0 et ln(e)=1ln(e) = 1.

Équations et signes

  • Équivalence : ln(x)=ln(y)⇔x=yln(x) = ln(y) \Leftrightarrow x = y.
  • Signe : ln(x)<0ln(x) < 0 sur ]0;1[]0; 1[ et ln(x)>0ln(x) > 0 sur ]1;+∞[]1; +\infty[.

Exemple : Résoudre ln(x)=2⇔x=e2ln(x) = 2 \Leftrightarrow x = e^2.

💡 Attention : Le logarithme d'un nombre négatif ou nul n'existe pas, vérifiez toujours votre domaine de définition.

Chapitre 1 : Fonction logarithme népérien – page 2

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Propriétés algébriques

Règles de calcul

Le logarithme transforme les produits en sommes et les quotients en différences.

  • Produit : ln(a×b)=ln(a)+ln(b)ln(a \times b) = ln(a) + ln(b).
  • Inverse et quotient : ln(1a)=−ln(a)ln(\frac{1}{a}) = -ln(a) et ln(ab)=ln(a)−ln(b)ln(\frac{a}{b}) = ln(a) - ln(b).
  • Puissance : ln(an)=n⋅ln(a)ln(a^n) = n \cdot ln(a) et ln(a)=12ln(a)ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2}ln(a).

Logarithme décimal

  • Définition : Noté log(x)log(x), il est défini par log(x)=ln(x)ln(10)log(x) = \frac{ln(x)}{ln(10)}.

Exemple : Simplifier ln(8)=ln(23)=3ln(2)ln(8) = ln(2^3) = 3ln(2).

💡 Astuce : Utilisez la propriété de la puissance pour simplifier rapidement les calculs avec des exposants complexes.

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