Caractérisation vectorielle d'un plan et vecteurs coplanaires

Cette section approfondit la caractérisation des plans dans l'espace et introduit le concept de vecteurs coplanaires.

La règle d'incidence stipule qu'un unique plan passe par trois points non alignés A, B et C, noté $ABC$. Dans un plan de l'espace, toutes les règles de la géométrie plane s'appliquent.

Définition: Deux vecteurs non nuls et non colinéaires déterminent la direction d'un plan.

Propriété: Un point M appartient au plan $ABC$ si et seulement s'il existe deux réels x et y tels que AM = xAB + yAC. On dit alors que M a pour coordonnées x et y dans le repère $A; AB; AC$ du plan.

Highlight: Un plan ne peut pas être engendré par deux vecteurs colinéaires. Un plan est entièrement déterminé par un point et un couple de vecteurs non nuls et non colinéaires.

Le concept de coplanarité est ensuite introduit :

Définition: Des points sont coplanaires s'il existe un plan qui les contient. Des vecteurs sont coplanaires s'il existe un plan contenant un représentant de chacun d'eux.

Propriété: Trois vecteurs u, v et w de l'espace sont coplanaires si et seulement s'il existe deux réels x et y tels que w = xv + yu, ou s'il existe trois réels a, b et c non tous nuls tels que au + bv + cw = 0.

Ces notions sont cruciales pour la résolution d'exercices corrigés de géométrie dans l'espace PDF et la compréhension des droites et plans de l'espace.

Positions relatives de droites et de plans

Cette partie du chapitre explore les différentes configurations possibles entre droites et plans dans l'espace.

Pour les positions relatives de deux droites, on distingue trois cas :

1. Droites coplanaires parallèles $ou confondues$
2. Droites coplanaires sécantes
3. Droites non coplanaires

Définition: Deux droites parallèles sont deux droites coplanaires qui n'ont aucun point commun ou qui sont confondues.

Propriété: Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

Pour les positions relatives de deux plans, on a deux possibilités :

1. Plans parallèles $ou confondus$
2. Plans sécants $suivant une droite$

Highlight: Lorsque deux plans sont parallèles, tout plan coupant l'un coupe aussi l'autre et les deux droites obtenues par intersection sont parallèles.

Concernant les positions relatives d'une droite et d'un plan, on distingue :

1. Droite parallèle au plan $ou contenue dans le plan$
2. Droite sécante au plan $en un point$

Propriété: Si une droite n'est pas parallèle à un plan, alors elle admet un unique point d'intersection avec ce plan.

Ces concepts sont essentiels pour résoudre des exercices corrigés de droites et plans de l'espace PDF et comprendre la géométrie dans l'espace terminale.

Bases et repères de l'espace

Cette dernière section introduit les notions de base et de repère dans l'espace tridimensionnel.

Définition: Une base de l'espace est un triplet $i, j, k$ de vecteurs non coplanaires.

Propriété: Pour tout vecteur u, il existe un unique triplet $x, y, z$ tel que u = xi + yj + zk, où $x, y, z$ sont appelées les coordonnées de u dans cette base.

Le concept de repère de l'espace est ensuite abordé, bien que les détails ne soient pas fournis dans l'extrait donné.

Ces notions sont fondamentales pour la géométrie dans l'espace terminale S et sont souvent utilisées dans les exercices corrigés de combinaison linéaire de vecteurs PDF.

Highlight: La compréhension des bases et repères de l'espace est cruciale pour la manipulation des vecteurs en trois dimensions et la résolution de problèmes complexes de géométrie spatiale.

Ce chapitre fournit les outils essentiels pour aborder des problèmes plus avancés en géométrie dans l'espace, comme ceux rencontrés dans les exercices corrigés de géométrie dans l'espace Terminale S PDF.

Page 4: Relations entre Plans et Droites

Cette section aborde les positions relatives des plans et des droites, élément essentiel des droites et plans de l'espace.

Definition: Deux plans sont parallèles s'ils n'ont aucun point commun ou s'ils sont confondus.

Example: Si deux plans sont parallèles, toute droite qui coupe l'un coupe aussi l'autre en formant des droites parallèles.

Highlight: Pour démontrer le parallélisme de deux plans, il suffit de montrer que deux vecteurs non colinéaires de l'un sont respectivement colinéaires à deux vecteurs non colinéaires de l'autre.

Page 5: Repérage dans l'Espace

Introduction au système de repérage dans l'espace, fondamental pour la géométrie dans l'espace cours.

Définition: Un repère de l'espace est constitué d'une origine O et d'une base $i,j,k$.

Vocabulary: Les coordonnées d'un point M$x,y,z$ comprennent son abscisse $x$, son ordonnée $y$ et sa cote $z$.

Example: Le milieu d'un segment $AB$ a pour coordonnées $xA+xB$/2, $yA+yB$/2, $zA+zB$/2.

Vecteurs de l'espace et translations

Ce chapitre introduit les concepts fondamentaux des vecteurs dans l'espace tridimensionnel et leurs applications aux translations.

Définition: Une translation qui transforme un point M en un point M' est appelée translation de vecteur MM'. Le vecteur MM' est défini par sa direction, son sens et sa norme.

Les translations dans l'espace conservent les mêmes propriétés que dans le plan, notamment la conservation du parallélisme, de l'orthogonalité et du milieu. Les définitions et calculs sur les vecteurs vus dans le plan sont étendus à l'espace, incluant l'opposé d'un vecteur, la somme de vecteurs, la relation de Chasles, le produit d'un vecteur par un réel et la colinéarité.

Définition: Une combinaison linéaire de deux vecteurs u et v est tout vecteur de la forme au + bv, où a et b sont des réels.

Highlight: Les combinaisons linéaires peuvent s'étendre à trois vecteurs ou plus, ce qui est crucial pour comprendre la géométrie dans l'espace.

Le chapitre aborde ensuite la caractérisation vectorielle des droites dans l'espace :

Définition: Un vecteur directeur d'une droite d est tout vecteur non nul qui possède la même direction que la droite d.

Propriété: Une droite d passant par un point A et de vecteur directeur u est l'ensemble des points M tels que AM et u sont colinéaires.

Ces concepts sont essentiels pour la géométrie dans l'espace terminale S et forment la base des exercices corrigés de géométrie dans l'espace.