Continuité, Dérivabilité et Convexité

Ce document présente un aperçu complet des concepts de continuité, dérivabilité et convexité en mathématiques. Il commence par définir la continuité d'une fonction, expliquant qu'une fonction est continue en un point a si sa limite en ce point est égale à f(a). Le document mentionne également des exemples de fonctions continues et non continues.

Définition: Une fonction f est continue en a lorsque la limite de f(x) quand x tend vers a est égale à f(a).

Le théorème des valeurs intermédiaires est ensuite présenté, suivi du théorème de la bijection pour les fonctions continues et strictement monotones. La dérivabilité est introduite avec la définition de la dérivée comme limite du taux de variation.

Exemple: L'équation de la tangente à une courbe au point A est donnée par y = f'(a)(x-a) + f(a).

Le document aborde ensuite la dérivation de fonctions composées et présente des propriétés spécifiques pour la dérivation de certaines fonctions, comme la racine carrée et les puissances. Il souligne également que toute fonction dérivable est continue, mais que la réciproque n'est pas vraie.

Enfin, le document traite de la convexité et de la concavité des fonctions, expliquant leurs relations avec les dérivées première et seconde. Il définit les points d'inflexion et fournit des critères pour déterminer la convexité ou la concavité d'une fonction à partir du signe de sa dérivée seconde.

Vocabulaire: Un point d'inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente, passant de concave à convexe ou vice versa.