Convexité — Fiches et exercices de maths (lycée)

Convexité et tangentes

Définitions de base

Une fonction change de forme selon la position de sa courbe $C_f$.

• Fonction convexe : courbe située sous ses sécantes $[AB]$ et au-dessus de ses tangentes.
• Fonction concave : courbe située au-dessus de ses sécantes $[AB]$ et en-dessous de ses tangentes.
• Point d'inflexion : endroit précis où la courbe traverse sa tangente, changeant de convexité.

💡 Astuce : Pense à un smiley souriant pour une courbe convexe, et triste pour une courbe concave.

Convexité et dérivée seconde

Le rôle de la dérivée seconde $f''$

La dérivée de la dérivée, notée $f''$, détermine la convexité de $f$.

• $f$ convexe : dérivée $f'$ croissante et dérivée seconde $f'' \ge 0$.
• $f$ concave : dérivée $f'$ décroissante et dérivée seconde $f'' \le 0$.
• Point d'inflexion : obtenu là où $f''$ s'annule en changeant de signe.

Exemple : Soit $f(x) = x^3$, d'où $f'(x) = 3x^2$ et $f''(x) = 6x$. $f''(x)$ s'annule et change de signe en $0$, donc la courbe admet un point d'inflexion en $x=0$.

💡 Attention : Si $f''$ s'annule sans changer de signe, ce n'est pas un point d'inflexion.