Démonstration par l'absurde que 1/3 n'est pas un nombre décimal

Cette page présente une démonstration mathématique rigoureuse pour prouver que 1/3 n'est pas décimal. La méthode utilisée est la preuve par l'absurde, une technique puissante en mathématiques.

La démonstration commence par supposer que 1/3 est un nombre décimal. Si cette hypothèse mène à une contradiction, cela prouvera que l'hypothèse de départ est fausse.

Définition: La preuve par l'absurde est une méthode de démonstration qui consiste à supposer le contraire de ce qu'on veut prouver, puis à montrer que cela conduit à une contradiction.

Le raisonnement se déroule comme suit :

1. On suppose que 1/3 est décimal, donc il peut s'écrire sous la forme a/10^p, où a est un entier et p un entier naturel.
2. On multiplie les deux côtés de l'équation par 3, ce qui donne 1 = 3a/10^p.
3. En multipliant par 10^p, on obtient 10^p = 3a.

Highlight: Cette étape est cruciale car elle montre que si 1/3 était décimal, alors 10^p serait divisible par 3.

La démonstration se poursuit en examinant la divisibilité par 3 :

Vocabulaire: Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.

Or, 10^p se termine toujours par un 0, précédé d'un 1. La somme de ses chiffres est donc toujours 1, qui n'est pas divisible par 3.

Exemple: Pour 10^3 = 1000, la somme des chiffres est 1+0+0+0 = 1, qui n'est pas divisible par 3.

Cette contradiction prouve que l'hypothèse de départ est fausse. Par conséquent, 1/3 n'est pas un nombre décimal.

Highlight: Cette démonstration illustre pourquoi 1/3 en nombre décimal s'écrit avec une période infinie (0,333...) et pourquoi il est impossible de trouver une représentation décimale finie pour cette fraction.