Taux d'accroissement, nombre dérivé et équation de la tangente

Cette page présente trois concepts mathématiques importants : le taux d'accroissement, le nombre dérivé, et l'équation de la tangente. Ces notions sont cruciales pour comprendre la dérivation des fonctions et leur comportement graphique.

Le taux d'accroissement est introduit en premier lieu.

Définition: Le taux d'accroissement est défini comme le coefficient directeur (ou pente) de la sécante passant par deux points d'une courbe.

Formule: Le taux d'accroissement est calculé par la formule : Δy/Δx = [f(b) - f(a)] / (b - a), où a et b sont deux abscisses distinctes.

Exemple: Pour une fonction f, le taux d'accroissement entre a et b est représenté graphiquement par la pente de la droite passant par les points A(a, f(a)) et B(b, f(b)).

Ensuite, le concept de nombre dérivé est présenté.

Définition: Le nombre dérivé d'une fonction en un point a est la limite du taux d'accroissement lorsque l'intervalle tend vers zéro.

Formule: Le nombre dérivé est exprimé par la limite : f'(a) = lim[h→0] [f(a+h) - f(a)] / h

Highlight: Si cette limite existe, on dit que la fonction est dérivable au point a, et f'(a) représente la pente de la tangente à la courbe en ce point.

Enfin, l'équation de la tangente est abordée.

Définition: La tangente en un point A(a, f(a)) est la droite passant par ce point et ayant pour coefficient directeur le nombre dérivé f'(a).

Formule: L'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse a est donnée par : y = f'(a)(x - a) + f(a)

Exemple: Pour calculer l'équation de la tangente, on détermine d'abord le nombre dérivé f'(a), puis on utilise la formule ci-dessus.

Ces concepts sont fondamentaux pour l'étude des fonctions en analyse mathématique et sont largement utilisés dans les exercices corrigés de calcul différentiel.