Dérivées de fonctions : taux d'accroissement, variations et tableaux

Le taux d'accroissement

Nombre dérivé

La limite du taux d'accroissement quand $h$ tend vers $0$ donne le nombre dérivé $f'(a)$.

• Formule : $t(h) = \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$
• Méthode : Calculer $t(h)$, simplifier par $h$, puis poser $h = 0$.

Exemple : Pour $f(x)=3x^2-2x-1$ en $a=-2$ : $\frac{f(-2+h)-f(-2)}{h} = 3h-14$ $f'(-2) = \lim_{h \to 0} (3h-14) = -14$.

💡 Astuce : Graphiquement, le nombre dérivé $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$.

Tangente et variations

Équation de la tangente

La droite qui effleure la courbe $C_f$ au point $A(a, f(a))$.

• Formule : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$

Variations et extremums

Le signe de la dérivée $f'(x)$ détermine le sens de variation de $f$.

• $f'(x) > 0$ : La fonction $f$ est croissante.
• $f'(x) < 0$ : La fonction $f$ est décroissante.
• Extremum : Si $f'$ s'annule en changeant de signe, $f$ admet un extremum local.

💡 Astuce : Ne confonds pas le signe de $f'(x)$ (positif/négatif) avec les variations de $f$ (croissante/décroissante).

Dérivées usuelles

Formules de base

Voici les dérivées des fonctions de référence à connaître par cœur pour les contrôles.

• Puissances : $(x^n)' = n x^{n-1}$ (valable pour $x^2 \to 2x$ et $x^3 \to 3x^2$)
• Inverse : $(\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^2}$ sur $]\!-\!\infty ; 0[\,\cup\,]0 ; +\infty[$
• Racine : $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ sur $]0 ; +\infty[$

💡 Astuce : La dérivée d'une fonction constante $f(x) = k$ est toujours égale à $0$.

Opérations sur les dérivées

Règles de calcul

Pour dériver des fonctions complexes, on applique des formules selon leur structure.

• Somme : $(u + v)' = u' + v'$
• Produit : $(u \times v)' = u'v + uv'$
• Quotient : $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

Exemple : Pour $f(x) = x\sqrt{x}$ : $f'(x) = 1 \times \sqrt{x} + x \times \frac{1}{2\sqrt{x}}$ $f'(x) = \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2} = \frac{3\sqrt{x}}{2}$.

💡 Attention : Pour la formule du quotient, n'oublie pas le signe moins au numérateur et le carré au dénominateur.

Position relative de deux courbes

Étude du signe de la différence

Pour comparer la position des courbes de $f(x)$ et $g(x)$, on étudie le signe de leur différence.

• Méthode : On étudie le signe de la fonction $d(x) = f(x) - g(x)$.
• $f(x) - g(x) > 0$ : $C_f$ est au-dessus de $C_g$.
• $f(x) - g(x) < 0$ : $C_f$ est en dessous de $C_g$.

💡 Astuce : Les valeurs de $x$ qui annulent la différence $f(x) - g(x) = 0$ correspondent aux points d'intersection des deux courbes.