Exposé Terminale — Équations différentielles : histoire, cours simple et exercices corrigés (ordre 1 & 2, fiche PDF)

Introduction et concepts clés

Définition et histoire

L'équation différentielle lie une fonction inconnue $y$ à ses dérivées.

• Origine: Leibniz introduit le terme en 1676 pour lier les différentielles $dx$ et $dy$.
• Ordre 1: Équation contenant uniquement la dérivée première $y'$.
• Ordre 2: Équation faisant intervenir la dérivée seconde $y''$.

Utilité en sciences

• Physique-chimie: Modélise les oscillations ou la vitesse d'une réaction.
• Économie-biologie: Décrit la croissance démographique ou l'évolution d'un capital.

💡 Astuce : Ne confonds pas la variable $x$ et la fonction inconnue $y$, qui s'écrit en réalité $y(x)$.

Résolution des équations d'ordre 1

Équation homogène $y' = ay$

C'est le cas le plus simple où le second membre est nul.

• Formule: Les solutions de $y' = ay$ sont de la forme $f(x) = C e^{ax}$ avec $C \in \mathbb{R}$.

Équation avec second membre $y' = ay + b$

Résoudre l'équation générale avec une constante $b$.

• Formule: Les solutions sont $f(x) = C e^{ax} - \frac{b}{a}$ avec $C \in \mathbb{R}$.
• Solution particulière: La constante $-\frac{b}{a}$ est la solution constante unique.
• Exemple: Pour $y' = 2y - 1$, on a $a=2$ et $b=-1$. Les solutions sont $f(x) = C e^{2x} + \frac{1}{2}$.

💡 Attention : Pense à vérifier le signe de $-b/a$ dans ta solution finale pour éviter les erreurs de calcul.