Exercice convexité Terminale Corrigé - Continuité, dérivabilité et théorème des valeurs intermédiaires

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Pauline Demeusy

29/01/2023

Maths

Exercice type bac continuité, dérivée, convexité

Matières

Maths

Exercice convexité Terminale Corrigé - Continuité, dérivabilité et théorème des valeurs intermédiaires

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

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Un exercice de mathématiques portant sur l'étude d'une fonction convexe dans le contexte de la pharmacocinétique d'un médicament. L'exercice explore la durée d'action d'un médicament à travers l'analyse de sa concentration dans le sang.

• L'exercice est divisé en deux parties principales : l'étude de la fonction et de ses variations, puis l'analyse de sa convexité

• Le problème modélise la quantité de médicament dans le sang en fonction du temps via une fonction f(t) = 3te^(-0,5t+1)

• L'étude inclut le calcul des dérivées, l'analyse des variations et la détermination des points critiques

• L'application du Théorème des valeurs intermédiaires permet de déterminer la durée d'efficacité du traitement

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29/01/2023

329

Contrôle fonctions (dérivation + continuité)
Partie A:
Dans le cadre d'un essai clinique, on envisage un protocole de traitement d'une
malad

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Partie B : Analyse de la convexité

Cette partie approfondit l'étude de la fonction en examinant sa dérivée seconde et sa convexité.

La dérivée seconde f"(t) = 3(0,25t - 1)e^(-0,5t+1) est calculée. Son signe détermine la convexité de la fonction.

Vocabulaire: La convexité d'une fonction décrit la forme de sa courbe. Une fonction est convexe si sa courbe est "tournée vers le haut".

L'analyse révèle que f est concave sur [0;4[ et convexe sur ]4;10]. Un point d'inflexion est identifié à t=4.

Highlight: Le changement de convexité à t=4 pourrait indiquer un changement dans le comportement du médicament, possiblement lié à sa pharmacodynamie.

L'équation de la tangente à la courbe en t=1 est établie, démontrant l'application pratique des concepts de dérivation.

Exemple: L'équation de la tangente est y = 4,5e^0,5x + 1,5e^0,5.

Cette analyse approfondie de la fonction modélisant la concentration du médicament fournit des informations cruciales sur son comportement dans le corps, essentielles pour optimiser son utilisation thérapeutique.

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Conclusion et implications

L'exercice illustre l'application des exercices corrigés de convexité en Terminale à un contexte pharmacologique réel. Il démontre comment les concepts mathématiques de dérivation type Bac et de continuité peuvent être utilisés pour analyser la pharmacocinétique d'un médicament.

Highlight: Cette approche mathématique de la pharmacologie est essentielle pour comprendre et optimiser l'efficacité des traitements médicamenteux.

L'étude de la convexité et des points d'inflexion de la courbe de concentration peut aider à identifier les phases critiques de l'action du médicament, informant ainsi les décisions sur le dosage et la fréquence d'administration.

Vocabulaire: La demi-vie d'un médicament pourrait être estimée à partir de cette analyse, fournissant des informations cruciales pour la posologie.

Cet exercice souligne l'importance des mathématiques dans les sciences biomédicales, illustrant comment les exercices corrigés de convexité en Terminale PDF peuvent avoir des applications concrètes et significatives dans le domaine de la santé.

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Page 4 : Étude de la Convexité

Cette page aborde l'analyse de la convexité de la fonction.

Highlight: La fonction présente une convexité différente avant et après t=4.

Example: La dérivée seconde f"(t) = 3(0,25t - 1)e^(-0,5t+1) permet d'étudier la convexité.

Voir

Page 5 : Conclusion et Points Techniques

Cette page finalise l'étude avec des aspects techniques supplémentaires.

Highlight: La fonction admet un point d'inflexion en (4; -1,10).

Definition: Sur l'intervalle [0;4[, la fonction est concave et les tangentes à sa courbe sont au-dessus d'elle.

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L'application est très simple à utiliser et bien faite. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais :D

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Pauline Demeusy

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• L'exercice est divisé en deux parties principales : l'étude de la fonction et de ses variations, puis l'analyse de sa convexité

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Partie B : Analyse de la convexité

Cette partie approfondit l'étude de la fonction en examinant sa dérivée seconde et sa convexité.

La dérivée seconde f"(t) = 3(0,25t - 1)e^(-0,5t+1) est calculée. Son signe détermine la convexité de la fonction.

Vocabulaire: La convexité d'une fonction décrit la forme de sa courbe. Une fonction est convexe si sa courbe est "tournée vers le haut".

L'analyse révèle que f est concave sur [0;4[ et convexe sur ]4;10]. Un point d'inflexion est identifié à t=4.

Highlight: Le changement de convexité à t=4 pourrait indiquer un changement dans le comportement du médicament, possiblement lié à sa pharmacodynamie.

L'équation de la tangente à la courbe en t=1 est établie, démontrant l'application pratique des concepts de dérivation.

Exemple: L'équation de la tangente est y = 4,5e^0,5x + 1,5e^0,5.

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Page 4 : Étude de la Convexité

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Highlight: La fonction présente une convexité différente avant et après t=4.

Example: La dérivée seconde f"(t) = 3(0,25t - 1)e^(-0,5t+1) permet d'étudier la convexité.

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Page 5 : Conclusion et Points Techniques

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Highlight: La fonction admet un point d'inflexion en (4; -1,10).

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Partie A : Étude de la concentration du médicament

Cette section examine l'évolution de la quantité de médicament dans le sang d'un patient au fil du temps.

Définition: La fonction f(t) = 3te^(-0,5t+1) modélise la quantité de médicament en mg dans le sang, où t représente le temps en heures depuis la prise du comprimé.

La dérivée de la fonction est calculée et utilisée pour établir le tableau de variations.

Highlight: Le pic de concentration du médicament est atteint après 2 heures, avec une quantité maximale de 6 mg.

L'efficacité d'un médicament est définie comme la période où sa concentration dépasse 5 mg. Utilisant le théorème des valeurs intermédiaires, on détermine que la durée d'efficacité est de 146 minutes.

Exemple: L'équation f(t) = 5 admet deux solutions : α ≈ 1,02 et β ≈ 3,46, définissant l'intervalle d'efficacité du médicament.

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J'aime tellement cette application [...] Je recommande Knowunity à tout le monde ! !! Je suis passé de 11 à 16 grâce à elle :D

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