Exercices corrigés de divison euclidienne et congruence pour les nuls

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Pauline Demeusy

28/01/2023

Maths exp.

Arithmétique partie 1

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Exercices corrigés de divison euclidienne et congruence pour les nuls

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

L'arithmétique est une branche fondamentale des mathématiques qui étudie les propriétés des nombres entiers. Ce résumé couvre les concepts clés de divisibilité, de fractions irréductibles, d'équations à deux inconnues, de division euclidienne et de congruence. Il fournit des définitions, des exemples et des méthodes pour résoudre divers problèmes arithmétiques, offrant ainsi une base solide pour les étudiants en mathématiques.

• La divisibilité est un concept central, avec des critères spécifiques pour les nombres divisibles par 2, 3, 4, 5, 6 et 7.
• Les fractions irréductibles et leur démonstration sont expliquées en détail.
• Les équations à deux inconnues sont abordées avec des exemples pratiques.
• La division euclidienne et ses propriétés sont présentées.
• Les relations de congruence et leurs applications sont discutées.

...

28/01/2023

484

Arithmétique
Arithmétique
Branche des mathématiques qui étudie les nombres entiers Z
Divisibilité :
Définition:
Si bak, on dit de façon équi

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Fractions irréductibles et équations à deux inconnues

Cette section aborde deux concepts importants : les fractions irréductibles et la résolution d'équations à deux inconnues.

Pour démontrer qu'une fraction est irréductible, il faut montrer que le plus grand diviseur commun du numérateur et du dénominateur est 1 ou -1.

Example: Montrer que la fraction (12n + 7) / (3n + 1) est irréductible.

La méthode consiste à utiliser les propriétés de divisibilité établies précédemment pour prouver que le seul diviseur commun possible est 1.

Pour résoudre une équation à deux inconnues, on suit une méthode spécifique :

Déterminer les diviseurs du terme constant
Identifier les identités remarquables si possible
Résoudre les systèmes d'équations correspondants

Example: Résoudre dans N l'équation : 4x² - y² = 20

Cette méthode est illustrée en détail avec cet exemple, montrant comment décomposer l'équation et trouver les couples (x, y) solutions.

Highlight: La résolution d'équations à 2 inconnues nécessite souvent une approche systématique et l'utilisation de propriétés algébriques.

Voir

Division euclidienne et congruence

Cette dernière section traite de deux concepts fondamentaux en arithmétique : la division euclidienne et la congruence.

Le théorème de la division euclidienne énonce que pour tout entier a et tout réel b, il existe des uniques q et r tels que :

a = bq + r, avec 0 ≤ r < b

Où a est le dividende, b le diviseur, q le quotient et r le reste.

Example: 190 = 25 x 7 + 15, où 0 ≤ 15 < 25

La relation de congruence est un concept lié à la division euclidienne. On dit que x est congru à y modulo n, noté x ≡ y [n], si n divise x - y.

Definition: x ≡ y [n] signifie que x et y ont le même reste dans la division euclidienne par n.

Highlight: La congruence modulo est un outil puissant pour résoudre de nombreux problèmes en arithmétique.

Quelques propriétés importantes de la congruence :

Si x ≡ y [n] et y ≡ z [n], alors x ≡ z [n]
x ≡ y [n] implique kx ≡ ky [n] pour tout k

Ces concepts sont essentiels pour résoudre des problèmes plus avancés en arithmétique, comme déterminer la divisibilité de expressions complexes.

Example: Montrer que n(n² - 4) est divisible par 3 en utilisant une disjonction de cas : n ≡ 0, 1, ou 2 [3]

Ce type de problème illustre l'application pratique des concepts de divisibilité et de congruence dans des démonstrations mathématiques plus complexes.

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Louis B., utilisateur iOS

J'aime tellement cette application [...] Je recommande Knowunity à tout le monde ! !! Je suis passé de 11 à 16 grâce à elle :D

Stefan S., utilisateur iOS

L'application est très simple à utiliser et bien faite. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais :D

Lola, utilisatrice iOS

J'adore cette application ❤️ Je l'utilise presque tout le temps pour réviser.

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Fractions irréductibles et équations à deux inconnues

Cette section aborde deux concepts importants : les fractions irréductibles et la résolution d'équations à deux inconnues.

Pour démontrer qu'une fraction est irréductible, il faut montrer que le plus grand diviseur commun du numérateur et du dénominateur est 1 ou -1.

Example: Montrer que la fraction (12n + 7) / (3n + 1) est irréductible.

La méthode consiste à utiliser les propriétés de divisibilité établies précédemment pour prouver que le seul diviseur commun possible est 1.

Pour résoudre une équation à deux inconnues, on suit une méthode spécifique :

Déterminer les diviseurs du terme constant
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Example: Résoudre dans N l'équation : 4x² - y² = 20

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Division euclidienne et congruence

Cette dernière section traite de deux concepts fondamentaux en arithmétique : la division euclidienne et la congruence.

Le théorème de la division euclidienne énonce que pour tout entier a et tout réel b, il existe des uniques q et r tels que :

a = bq + r, avec 0 ≤ r < b

Où a est le dividende, b le diviseur, q le quotient et r le reste.

Example: 190 = 25 x 7 + 15, où 0 ≤ 15 < 25

La relation de congruence est un concept lié à la division euclidienne. On dit que x est congru à y modulo n, noté x ≡ y [n], si n divise x - y.

Definition: x ≡ y [n] signifie que x et y ont le même reste dans la division euclidienne par n.

Highlight: La congruence modulo est un outil puissant pour résoudre de nombreux problèmes en arithmétique.

Quelques propriétés importantes de la congruence :

Si x ≡ y [n] et y ≡ z [n], alors x ≡ z [n]
x ≡ y [n] implique kx ≡ ky [n] pour tout k

Ces concepts sont essentiels pour résoudre des problèmes plus avancés en arithmétique, comme déterminer la divisibilité de expressions complexes.

Example: Montrer que n(n² - 4) est divisible par 3 en utilisant une disjonction de cas : n ≡ 0, 1, ou 2 [3]

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Fondements de l'arithmétique et divisibilité

L'arithmétique est la branche des mathématiques qui se concentre sur l'étude des nombres entiers (Z). Cette section introduit le concept crucial de divisibilité, qui est fondamental pour comprendre de nombreux aspects de l'arithmétique.

La divisibilité est définie de plusieurs façons équivalentes :

Si b = ak, on dit que :
- a divise b
- a est un diviseur de b
- b est divisible par a
- b est un multiple de a

On note cette relation par a | b, ou a ∤ b si ce n'est pas le cas. L'ensemble des diviseurs de a est noté D(a).

Exemple: 3 | 12 car 12 = 3 x 4, mais 4 ∤ 10

Highlight: 0 ne divise aucun nombre, mais est divisible par tous les nombres.

Une propriété importante de la divisibilité est que si c | A et c | B, alors c | Ax + By pour tout x et y.

Exemple: Soit d ∈ N. Si d | 12n + 7 = A et d | 3n + 1 = B, alors d divise 3.

Cette propriété est utile pour démontrer la divisibilité dans des cas complexes, comme le montre l'exemple ci-dessus.

Vocabulary: Critères de divisibilité - Ce sont des règles qui permettent de déterminer rapidement si un nombre est divisible par un autre sans effectuer la division.

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