Exercices corrigés de divison euclidienne et congruence pour les nuls

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Pauline Demeusy

28/01/2023

Maths exp.

Arithmétique partie 1

Matières

Maths exp.

Exercices corrigés de divison euclidienne et congruence pour les nuls

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

L'arithmétique est une branche fondamentale des mathématiques qui étudie les propriétés des nombres entiers. Ce résumé couvre les concepts clés de divisibilité, de fractions irréductibles, d'équations à deux inconnues, de division euclidienne et de congruence. Il fournit des définitions, des exemples et des méthodes pour résoudre divers problèmes arithmétiques, offrant ainsi une base solide pour les étudiants en mathématiques.

• La divisibilité est un concept central, avec des critères spécifiques pour les nombres divisibles par 2, 3, 4, 5, 6 et 7.
• Les fractions irréductibles et leur démonstration sont expliquées en détail.
• Les équations à deux inconnues sont abordées avec des exemples pratiques.
• La division euclidienne et ses propriétés sont présentées.
• Les relations de congruence et leurs applications sont discutées.

28/01/2023

490

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Fractions irréductibles et équations à deux inconnues

Cette section aborde deux concepts importants : les fractions irréductibles et la résolution d'équations à deux inconnues.

Pour démontrer qu'une fraction est irréductible, il faut montrer que le plus grand diviseur commun du numérateur et du dénominateur est 1 ou -1.

Example: Montrer que la fraction $12n + 7$ / $3n + 1$ est irréductible.

La méthode consiste à utiliser les propriétés de divisibilité établies précédemment pour prouver que le seul diviseur commun possible est 1.

Pour résoudre une équation à deux inconnues, on suit une méthode spécifique :

Déterminer les diviseurs du terme constant
Identifier les identités remarquables si possible
Résoudre les systèmes d'équations correspondants

Example: Résoudre dans N l'équation : 4x² - y² = 20

Cette méthode est illustrée en détail avec cet exemple, montrant comment décomposer l'équation et trouver les couples $x, y$ solutions.

Highlight: La résolution d'équations à 2 inconnues nécessite souvent une approche systématique et l'utilisation de propriétés algébriques.

Voir

Division euclidienne et congruence

Cette dernière section traite de deux concepts fondamentaux en arithmétique : la division euclidienne et la congruence.

Le théorème de la division euclidienne énonce que pour tout entier a et tout réel b, il existe des uniques q et r tels que :

a = bq + r, avec 0 ≤ r < b

Où a est le dividende, b le diviseur, q le quotient et r le reste.

Example: 190 = 25 x 7 + 15, où 0 ≤ 15 < 25

La relation de congruence est un concept lié à la division euclidienne. On dit que x est congru à y modulo n, noté x ≡ y $n$ , si n divise x - y.

Definition: x ≡ y $n$ signifie que x et y ont le même reste dans la division euclidienne par n.

Highlight: La congruence modulo est un outil puissant pour résoudre de nombreux problèmes en arithmétique.

Quelques propriétés importantes de la congruence :

Si x ≡ y $n$ et y ≡ z $n$ , alors x ≡ z $n$
x ≡ y $n$ implique kx ≡ ky $n$ pour tout k

Ces concepts sont essentiels pour résoudre des problèmes plus avancés en arithmétique, comme déterminer la divisibilité de expressions complexes.

Example: Montrer que n $n² - 4$ est divisible par 3 en utilisant une disjonction de cas : n ≡ 0, 1, ou 2 $3$

Ce type de problème illustre l'application pratique des concepts de divisibilité et de congruence dans des démonstrations mathématiques plus complexes.

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J'aime tellement cette application [...] Je recommande Knowunity à tout le monde ! !! Je suis passé de 11 à 16 grâce à elle :D

Stefan S., utilisateur iOS

L'application est très simple à utiliser et bien faite. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais :D

Lola, utilisatrice iOS

J'adore cette application ❤️ Je l'utilise presque tout le temps pour réviser.

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•

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•

28 janv. 2023

•

3 pages

Exercices corrigés de divison euclidienne et congruence pour les nuls

Pauline Demeusy

@pauline.demeusy

Arithmétique
Arithmétique
Branche des mathématiques qui étudie les nombres entiers Z
Divisibilité :
Définition:
Si bak, on dit de façon équi

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Fractions irréductibles et équations à deux inconnues

Cette section aborde deux concepts importants : les fractions irréductibles et la résolution d'équations à deux inconnues.

Pour démontrer qu'une fraction est irréductible, il faut montrer que le plus grand diviseur commun du numérateur et du dénominateur est 1 ou -1.

Example: Montrer que la fraction $12n + 7$ / $3n + 1$ est irréductible.

La méthode consiste à utiliser les propriétés de divisibilité établies précédemment pour prouver que le seul diviseur commun possible est 1.

Pour résoudre une équation à deux inconnues, on suit une méthode spécifique :

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Division euclidienne et congruence

Cette dernière section traite de deux concepts fondamentaux en arithmétique : la division euclidienne et la congruence.

Le théorème de la division euclidienne énonce que pour tout entier a et tout réel b, il existe des uniques q et r tels que :

a = bq + r, avec 0 ≤ r < b

Où a est le dividende, b le diviseur, q le quotient et r le reste.

Example: 190 = 25 x 7 + 15, où 0 ≤ 15 < 25

La relation de congruence est un concept lié à la division euclidienne. On dit que x est congru à y modulo n, noté x ≡ y $n$ , si n divise x - y.

Definition: x ≡ y $n$ signifie que x et y ont le même reste dans la division euclidienne par n.

Highlight: La congruence modulo est un outil puissant pour résoudre de nombreux problèmes en arithmétique.

Quelques propriétés importantes de la congruence :

Si x ≡ y $n$ et y ≡ z $n$ , alors x ≡ z $n$
x ≡ y $n$ implique kx ≡ ky $n$ pour tout k

Ces concepts sont essentiels pour résoudre des problèmes plus avancés en arithmétique, comme déterminer la divisibilité de expressions complexes.

Example: Montrer que n $n² - 4$ est divisible par 3 en utilisant une disjonction de cas : n ≡ 0, 1, ou 2 $3$

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Fondements de l'arithmétique et divisibilité

L'arithmétique est la branche des mathématiques qui se concentre sur l'étude des nombres entiers $Z$ . Cette section introduit le concept crucial de divisibilité, qui est fondamental pour comprendre de nombreux aspects de l'arithmétique.

La divisibilité est définie de plusieurs façons équivalentes :

Si b = ak, on dit que : a divise b a est un diviseur de b b est divisible par a b est un multiple de a

On note cette relation par a | b, ou a ∤ b si ce n'est pas le cas. L'ensemble des diviseurs de a est noté D $a$ .

Exemple: 3 | 12 car 12 = 3 x 4, mais 4 ∤ 10

Highlight: 0 ne divise aucun nombre, mais est divisible par tous les nombres.

Une propriété importante de la divisibilité est que si c | A et c | B, alors c | Ax + By pour tout x et y.

Exemple: Soit d ∈ N. Si d | 12n + 7 = A et d | 3n + 1 = B, alors d divise 3.

Cette propriété est utile pour démontrer la divisibilité dans des cas complexes, comme le montre l'exemple ci-dessus.

Vocabulary: Critères de divisibilité - Ce sont des règles qui permettent de déterminer rapidement si un nombre est divisible par un autre sans effectuer la division.

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L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

utilisatrice Android

Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

utilisateur Android

PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

utilisatrice d'Android

Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

utilisatrice iOS

C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

utilisateur IOS

Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

utilisatrice iOS

Stefan S

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Anna

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Thomas R

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Esteban M

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Sudenaz Ocak

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Greenlight Bonnie

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Fractions irréductibles et équations à deux inconnues

Division euclidienne et congruence

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