Amuse-toi avec la Divisibilité et Congruence: Exercices et PDF

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naya

30/11/2022

Maths exp.

Divisibilité et congruence dans Z

Matières

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Amuse-toi avec la Divisibilité et Congruence: Exercices et PDF

Voici un résumé détaillé et optimisé pour le SEO du document sur la divisibilité et congruence dans Z, couvrant la division euclidienne et restes possibles, ainsi que la compatibilité et transitivité dans congruences.

Le document explore les concepts fondamentaux de la théorie des nombres, en se concentrant sur la divisibilité, la division euclidienne et les congruences dans l'ensemble des entiers Z. Il fournit des définitions claires, des exemples pratiques et des propriétés importantes pour comprendre ces notions mathématiques essentielles.

La divisibilité dans Z est définie et ses propriétés sont expliquées.
La division euclidienne est présentée comme un outil fondamental pour comprendre la divisibilité.
Les congruences sont introduites comme une extension de la divisibilité, avec leurs propriétés de transitivité et de compatibilité.
Des exemples graphiques et numériques illustrent chaque concept pour faciliter la compréhension.

30/11/2022

alho exp.
Chaps
I
DEF: a, b, REZ
DivisiBiLiTE DANS Z
RMQ: *0 multiple de tt Z
* 1, m, -1-m Im
DE DANS
IVISIBILITE ET
CONGRUENCE
GRAPH
Ps: si

Congruences dans Z

Cette page approfondit le concept de congruence dans l'ensemble des entiers Z, en le reliant à la division euclidienne et en explorant ses propriétés fondamentales.

Definition: Pour a, b ∈ Z et n ∈ N*, on dit que a est congru à b modulo n, noté a ≡ b $mod n$ , si a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n.

La page fournit une représentation graphique de la congruence modulo 3, illustrant comment les entiers se répartissent en trois classes de congruence : 0, 1, et 2.

Example: Dans la congruence modulo 3, 4 ≡ 1 $mod 3$ car 4 et 1 ont le même reste $1$ dans la division par 3.

Highlight: La congruence modulo n partitionne Z en n classes d'équivalence.

La page explique ensuite les propriétés importantes des congruences :

Réflexivité : a ≡ a $mod n$ pour tout a ∈ Z
Symétrie : Si a ≡ b $mod n$ , alors b ≡ a $mod n$
Transitivité : Si a ≡ b $mod n$ et b ≡ c $mod n$ , alors a ≡ c $mod n$

Vocabulary: La congruence arithmétique est une relation d'équivalence sur Z.

La compatibilité des congruences avec les opérations arithmétiques est également abordée :

Example: Si a ≡ b $mod n$ et a' ≡ b' $mod n$ , alors :

a + a' ≡ b + b' $mod n$

a - a' ≡ b - b' $mod n$

a × a' ≡ b × b' $mod n$

La page se termine en mentionnant que ces propriétés font des congruences un outil puissant pour résoudre divers problèmes en théorie des nombres et en cryptographie.

Highlight: Les congruences sont fondamentales pour comprendre la divisibilité par 9, 11 et d'autres nombres, ainsi que pour résoudre des exercices de congruence modulo.

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Lola, utilisatrice iOS

J'adore cette application ❤️ Je l'utilise presque tout le temps pour réviser.

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•

817

•

24 juin 2025

•

2 pages

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naya

@nayavel_ysae

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Congruences dans Z

Cette page approfondit le concept de congruence dans l'ensemble des entiers Z, en le reliant à la division euclidienne et en explorant ses propriétés fondamentales.

Definition: Pour a, b ∈ Z et n ∈ N*, on dit que a est congru à b modulo n, noté a ≡ b $mod n$ , si a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n.

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Example: Dans la congruence modulo 3, 4 ≡ 1 $mod 3$ car 4 et 1 ont le même reste $1$ dans la division par 3.

Highlight: La congruence modulo n partitionne Z en n classes d'équivalence.

La page explique ensuite les propriétés importantes des congruences :

Réflexivité : a ≡ a $mod n$ pour tout a ∈ Z
Symétrie : Si a ≡ b $mod n$ , alors b ≡ a $mod n$
Transitivité : Si a ≡ b $mod n$ et b ≡ c $mod n$ , alors a ≡ c $mod n$

Vocabulary: La congruence arithmétique est une relation d'équivalence sur Z.

La compatibilité des congruences avec les opérations arithmétiques est également abordée :

Example: Si a ≡ b $mod n$ et a' ≡ b' $mod n$ , alors :

a + a' ≡ b + b' $mod n$

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La page se termine en mentionnant que ces propriétés font des congruences un outil puissant pour résoudre divers problèmes en théorie des nombres et en cryptographie.

Highlight: Les congruences sont fondamentales pour comprendre la divisibilité par 9, 11 et d'autres nombres, ainsi que pour résoudre des exercices de congruence modulo.

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Divisibilité et division euclidienne dans Z

Cette page introduit les concepts de divisibilité et de division euclidienne dans l'ensemble des entiers Z. Elle commence par définir la divisibilité et ses propriétés fondamentales. Ensuite, elle présente la division euclidienne et ses conséquences importantes.

Definition: La divisibilité dans Z est définie pour a, b ∈ Z. On dit que b divise a s'il existe un entier q tel que a = bq.

Highlight: Tout nombre est divisible par 1, lui-même, et -1. De plus, 0 est multiple de tout entier.

La page explique ensuite les propriétés de la divisibilité, notamment la transitivité et la distributivité par rapport à l'addition et à la multiplication.

Example: Si a|b et b|c, alors a|c. Si a|b et a|c, alors a| $bu ± cv$ pour tout u, v ∈ Z.

La division euclidienne est ensuite introduite comme un concept fondamental.

Definition: Pour a, b ∈ Z avec b ≠ 0, il existe un unique couple $q, r$ ∈ Z² tel que a = bq + r, où 0 ≤ r < |b|.

Cette définition est illustrée par un exemple graphique montrant la division de 7 par 3, résultant en un quotient de 2 et un reste de 1.

Highlight: La division euclidienne est essentielle pour comprendre la divisibilité par 2, 3, 4, 5, 6, 7 et d'autres nombres.

La page se termine en soulignant les conséquences importantes de la division euclidienne, notamment son rôle dans la détermination de la divisibilité et le nombre limité de restes possibles.

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L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

utilisatrice Android

Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

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Esteban M

utilisateur d'Android

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Leny

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Sudenaz Ocak

utilisateur Android

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Greenlight Bonnie

utilisateur Android

PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

utilisatrice d'Android

Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

utilisatrice iOS

C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

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Ella

utilisatrice iOS

Stefan S

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Samantha Klich

utilisatrice Android

Anna

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Thomas R

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Esteban M

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