Congruences dans Z

Cette page approfondit le concept de congruence dans l'ensemble des entiers Z, en le reliant à la division euclidienne et en explorant ses propriétés fondamentales.

Definition: Pour a, b ∈ Z et n ∈ N*, on dit que a est congru à b modulo n, noté a ≡ b (mod n), si a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n.

La page fournit une représentation graphique de la congruence modulo 3, illustrant comment les entiers se répartissent en trois classes de congruence : 0, 1, et 2.

Example: Dans la congruence modulo 3, 4 ≡ 1 (mod 3) car 4 et 1 ont le même reste (1) dans la division par 3.

Highlight: La congruence modulo n partitionne Z en n classes d'équivalence.

La page explique ensuite les propriétés importantes des congruences :

1. Réflexivité : a ≡ a (mod n) pour tout a ∈ Z
2. Symétrie : Si a ≡ b (mod n), alors b ≡ a (mod n)
3. Transitivité : Si a ≡ b (mod n) et b ≡ c (mod n), alors a ≡ c (mod n)

Vocabulary: La congruence arithmétique est une relation d'équivalence sur Z.

La compatibilité des congruences avec les opérations arithmétiques est également abordée :

Example: Si a ≡ b (mod n) et a' ≡ b' (mod n), alors :

• a + a' ≡ b + b' (mod n)
• a - a' ≡ b - b' (mod n)
• a × a' ≡ b × b' (mod n)

La page se termine en mentionnant que ces propriétés font des congruences un outil puissant pour résoudre divers problèmes en théorie des nombres et en cryptographie.

Highlight: Les congruences sont fondamentales pour comprendre la divisibilité par 9, 11 et d'autres nombres, ainsi que pour résoudre des exercices de congruence modulo.