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Les congruences
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fiche sur les congruences en maths expertes.
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LES CONGRUENCES maths expertes *DÉFINITION: Soient a et b deux nombres entiers relatifs et nun nombre enter naturel. On dit que le nombre a est congru au nombre b modulon noté a = b[n) Porsque a - b est un multiple den. a-b=kn ipexiste un entier relatif k tel que a-b-&n car nla-b. *PROPRIÉTÉS: 1. si a = b(n) alors a et bont le même reste s'ils sont divisés parn. 2. si a est devisible par n alors a = 0 (n) 3. r est le reste de la division euclidienne de a parn sia =r(n) et si le reste est compris entre Oet n 4. Transitivité; si a = b(n), b = c(n) alors a ≤ c (n) 5. a = a (n) *LES OPÉRATIONS EN MODULO (6) si a=b(n) Alors ac=bc(n) compatibilité avec la multiplication. compatibilité avec •si a = b (n) Alors a+c=b+c(n) l'addition. •sia=b(n) et c = d(n) alors a+c= btd (n) *TABLEAU DE CONGRUENCE On peut utiliser un tableau de congruence pour, par exemple, trouver to redis possibles dans un durvision euclidienne au montrer la divisibilité par un nombre d'un ensemble de nombres 0 exemple: Determiner les restes possibles de la division den ² par 7, DE... (7) 01 2 3 4 5 6 On remplace n°²=... (7) 0 4 4 2 24 eenpart reste du haut. *L'INVERSEMODULO Définition: Soient a appartenant à Z et m module m que ab=1 (m) appartenanta N quand
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LES CONGRUENCES maths expertes *DÉFINITION: Soient a et b deux nombres entiers relatifs et nun nombre enter naturel. On dit que le nombre a est congru au nombre b modulon noté a = b[n) Porsque a - b est un multiple den. a-b=kn ipexiste un entier relatif k tel que a-b-&n car nla-b. *PROPRIÉTÉS: 1. si a = b(n) alors a et bont le même reste s'ils sont divisés parn. 2. si a est devisible par n alors a = 0 (n) 3. r est le reste de la division euclidienne de a parn sia =r(n) et si le reste est compris entre Oet n 4. Transitivité; si a = b(n), b = c(n) alors a ≤ c (n) 5. a = a (n) *LES OPÉRATIONS EN MODULO (6) si a=b(n) Alors ac=bc(n) compatibilité avec la multiplication. compatibilité avec •si a = b (n) Alors a+c=b+c(n) l'addition. •sia=b(n) et c = d(n) alors a+c= btd (n) *TABLEAU DE CONGRUENCE On peut utiliser un tableau de congruence pour, par exemple, trouver to redis possibles dans un durvision euclidienne au montrer la divisibilité par un nombre d'un ensemble de nombres 0 exemple: Determiner les restes possibles de la division den ² par 7, DE... (7) 01 2 3 4 5 6 On remplace n°²=... (7) 0 4 4 2 24 eenpart reste du haut. *L'INVERSEMODULO Définition: Soient a appartenant à Z et m module m que ab=1 (m) appartenanta N quand
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