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maths expertes : nombres complexes (j’écris petit et tout collé)
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NOMBRES COMPLEXES FORME ALGEBRIQUE 2 = grib a=Reiz) b = Im (2) Les if = -1 Si Relz)=0 →imaginaire pur (26R) Si Im(z)=0 reel (ZER) propricter 2+z² = (x +26²) +ilyty'); z-z'= (x-ac') +i(y-y'), z=z¹=(oc'-yy') + ilxy²+x²y) CONJUGUE conjugué : 2 →= = ont la même partie reelle, mais Za partie imaginaire opposée si 2 = x+iy alors ==x-iy propriété {=2, 2 + 2 = 2 Re(2), z-z = Lix Im(z), zER⇒z=z₁z €¡RZ=-2, 2x2= (Re(21)²+(Im(z))² EQUATIONS 2ND DEGRES A=b²-4ac 110=0720=-120 b ● z= a +ib et 2'=a'tib' 42=2' ← → a= a, b = b' INVERSE ET QUOTIENT A • Soir ₂ € (* = [/{0}. z admet un unique inverse note & tel que: 2x==1 Soient ze=2€, alors le quotient de z par z', noté 3, défini par : 2:2x1 A pour déterminer la forme algébrique d'un quotient de nombres complexes on multipliera le numératour et le dénominateur par le conjugué du déno. 21420→2₁-b+0 et 2₂= -b- √5 la la 2=2' Relz)-Re(z), Im(z)=Im(x) 3) A<0→21:-bri√-A et 2₂-b-ix-o La DEMONSTRATION FA • Ecriture algé nbr complexe unique x +y = x' + iy' ⇒(x+x²)+ily+y²1=0 or,0=0+ix0 d'où so = x - x² Lo=y-y' donc x= x² cty=y! La ODEMONSTRATION = NBR COMPL. oz:z' Ralz): Re(z) et Im(z) = Im(z') 2:2 ⇒xtiy = x'tiy' ⇒(x-x)+ily-y') = 0 14:0 or, 0:0 +ix0 d'où x-x'=0 et y-y²=0 ⇒x=x'ety=y' Relz) = Re(2¹) et Im(z) = Im (2') DEMONSTRATIONS PROP. ALGE. 112=2z=x+iy, d'où Z = x-¡y et donc = = x-iy = c+iy = z 2)² + 2...
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Légende alternative :
= 2 R₂ (z) →→x+1/4+x=1/4 = 2x = 2 Re(z) 3) zxz=(Re(21)+(Im (2))>(x+y)(xc-iy) zac²-(y) = x² + y² = (Re(2))² + (EmCale 412ER2=2>2=₂> { x= x ly=-y (x=x√x=xzER [y:0 DEMONSTRATION CONJ. 2+2²=2+27→2+2¹= (x+x²)+i(y + y²) 2+2¹= x+2²+ilyty!) =x0+J6²-i(y+y') Z+z¹ = x-¡y+x²-¡y'. =x+x²-i(y+y²) Z+2=2+2 ZxZ=ZXZ¹2x2¹= (x+x) xi(y+y¹) Zxz¹ = x+x²xily+y!) = x+x²xily+y²) 2x²² = x+iy xx²+iy") =x+x'x ily+y¹) Z +2¹ Z+2= DEMONSTRATION QUOTIENT ET CONT ^(4) ³ → ²*0, ²²×1=1 d'oú: 2¹==1=1,or z'x 4 = ²² x 1 = 1, d'où = = = X¹ (3) : — → ²': ² - ² d'oû z¹x ² = 2,or 2¹ x ² = 2x2, dóú 2¹ x 2 = 2 donc 2. - 2 S
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= 2 R₂ (z) →→x+1/4+x=1/4 = 2x = 2 Re(z) 3) zxz=(Re(21)+(Im (2))>(x+y)(xc-iy) zac²-(y) = x² + y² = (Re(2))² + (EmCale 412ER2=2>2=₂> { x= x ly=-y (x=x√x=xzER [y:0 DEMONSTRATION CONJ. 2+2²=2+27→2+2¹= (x+x²)+i(y + y²) 2+2¹= x+2²+ilyty!) =x0+J6²-i(y+y') Z+z¹ = x-¡y+x²-¡y'. =x+x²-i(y+y²) Z+2=2+2 ZxZ=ZXZ¹2x2¹= (x+x) xi(y+y¹) Zxz¹ = x+x²xily+y!) = x+x²xily+y²) 2x²² = x+iy xx²+iy") =x+x'x ily+y¹) Z +2¹ Z+2= DEMONSTRATION QUOTIENT ET CONT ^(4) ³ → ²*0, ²²×1=1 d'oú: 2¹==1=1,or z'x 4 = ²² x 1 = 1, d'où = = = X¹ (3) : — → ²': ² - ² d'oû z¹x ² = 2,or 2¹ x ² = 2x2, dóú 2¹ x 2 = 2 donc 2. - 2 S