Exponentielle et logarithme népérien — fiche de révision : limites, dérivées, croissance

Limites et Croissances Comparées

Les comportements asymptotiques de l'exponentielle et du logarithme aux bornes de leur ensemble de définition.

Limites fondamentales

• Exponentielle : $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$
• Logarithme : $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$ et $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$

Croissances comparées

L'exponentielle l'emporte toujours sur les puissances de $x$ en l'infini.

• En $+\infty$ : $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$
• En $-\infty$ : $\lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$

💡 Astuce : Retiens que l'exponentielle est infiniment plus forte que $x^n$ en $+\infty$ et $-\infty$.

Formes Indéterminées et Dérivées

Débloquer les calculs de limites et maîtriser les outils d'analyse de base.

Formes indéterminées (FI)

• Les 4 FI : $\infty - \infty$, $\infty \times 0$, $\frac{\infty}{\infty}$ et $\frac{0}{0}$
• Calculs directs : $\frac{\infty}{0} = \infty$ et $\frac{0}{\infty} = 0$ (ce ne sont pas des FI)

Rappels d'analyse

• Dérivées : $(x^3)' = 3x^2$ et $(\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^2}$
• Trinôme : Le signe de $ax^2+bx+c$ dépend du discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$

Exemple : Dériver $f(x) = 3x^2$.

• $f'(x) = 3 \times 2x$
• $f'(x) = 6x$

💡 Astuce : Si tu obtiens une FI, factorise par le terme de plus haut degré pour lever l'indétermination.