Démonstration par récurrence : principes fondamentaux
Le raisonnement par récurrence est une technique mathématique essentielle, particulièrement utile pour les exercices de récurrence en Terminale S. Cette page explique les étapes clés de cette méthode de démonstration.
Définition: Le raisonnement par récurrence est une méthode pour prouver qu'une propriété Pn est vraie pour tout entier naturel n.
La démonstration par récurrence se décompose en deux étapes principales :
- Initialisation : On démontre que la propriété P0 est vraie.
Exemple: Pour l'initialisation, on prouve que P0 est vraie, c'est-à-dire que u₀ = 1.
- Hérédité : On démontre que pour tout entier k, si Pk est vraie, alors Pk+1 est également vraie.
Highlight: L'hypothèse de récurrence HR est cruciale dans l'étape d'hérédité. On suppose que Pk est vraie pour un certain k, puis on démontre que Pk+1 est vraie.
Exemple: Dans l'étape d'hérédité, on suppose que uₖ = k² + 1 hypotheˋsedereˊcurrence, puis on démontre que uₖ₊₁ = k+1² + 1.
Cette méthode est particulièrement utile pour prouver des propriétés sur les suites numériques, comme on peut le voir dans de nombreux exercices raisonnement par récurrence PDF.
Vocabulaire: L'hérédité signifie que la propriété se transmet d'un entier à son successeur.
Pour compléter la démonstration, il faut montrer que la propriété respecte l'hérédité, c'est-à-dire que Pk+1 est vraie lorsque Pk est supposée vraie. Cette étape est souvent la plus délicate dans les exercices de récurrence Terminale S type bac PDF.
Quote: "Si l'on a étudié une fonction avant : d'après la question fk+1 - fk = 1, donc si fk+1 respecte l'hérédité, cela signifie que Pk+1 est vraie, donc Pn est héréditaire."
Le raisonnement par récurrence est un outil puissant qui trouve des applications bien au-delà des mathématiques, notamment dans le raisonnement par récurrence dans la vie de tous les jours et le raisonnement par récurrence scientifique.
