Page 2 : Nombres irrationnels, réels et intervalles

Cette page poursuit l'exploration des ensembles de nombres avec les irrationnels et les réels, puis introduit le concept d'intervalles sur la droite réelle.

Nombres irrationnels

Définition: Un nombre réel qui n'est pas rationnel est dit irrationnel. L'ensemble des nombres irrationnels est noté ℚ'.

Exemple: √2, √3, √5 et π sont des nombres irrationnels.

Nombres réels

Définition: L'ensemble des nombres réels, noté ℝ, comprend tous les nombres définis précédemment.

Highlight: ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ

Intervalles de ℝ

Les intervalles sont des sous-ensembles de ℝ définis par des bornes.

Définition:

• [a, b] est l'ensemble des réels x tels que a ≤ x ≤ b
• ]a, b[ est l'ensemble des réels x tels que a < x < b
• [a, +∞[ représente l'ensemble des réels x tels que x ≥ a
• ]-∞, b[ représente l'ensemble des réels x tels que x < b

Vocabulary:

• Intervalle fermé : [a, b]
• Intervalle ouvert : ]a, b[
• Intervalle semi-ouvert ou semi-fermé : [a, b[ ou ]a, b]
• Intervalle borné : [a, b], ]a, b], [a, b[, et ]a, b[

Highlight: Pour un intervalle [a, b], on définit :

• Amplitude = b - a
• Centre = $a + b$ / 2
• Rayon = $b - a$ / 2

Identités remarquables

La page se termine par un rappel des identités remarquables essentielles pour le développement et la factorisation algébrique.

Définition: Formules de développement :

• $a + b$² = a² + 2ab + b²
• $a - b$² = a² - 2ab + b²
• a + b$$a - b = a² - b²

Highlight: Ces identités sont cruciales pour simplifier les expressions algébriques et résoudre certaines équations.

Page 1 : Les différents types de nombres

Cette page présente les différents ensembles de nombres en mathématiques, en commençant par les plus simples pour aller vers les plus complexes.

Nombres entiers

Nombres entiers naturels

Les nombres entiers naturels sont définis comme des nombres entiers positifs ou nuls.

Définition: L'ensemble des nombres entiers naturels est noté ℕ = {0, 1, 2, 3, ...}

Exemple: 100 ∈ ℕ, 27 ∈ ℕ, mais 5,62 ∉ ℕ et -5 ∉ ℕ

Nombres entiers relatifs

Les nombres entiers relatifs incluent les entiers naturels, leurs opposés et zéro.

Définition: L'ensemble des nombres entiers relatifs est noté ℤ = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}

Exemple: 10 ∈ ℤ, -20 ∈ ℤ, mais -60,62 ∉ ℤ

Highlight: ℕ ⊂ ℤ (ℕ est inclus dans ℤ)

Ensembles de nombres

Nombres décimaux

Les nombres décimaux peuvent s'écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule.

Définition: Un nombre décimal peut s'écrire sous la forme a/10^p, où a est un entier relatif et p un entier naturel.

Exemple: 2,68 = 268/100 donc 2,68 ∈ 𝔻 (ensemble des nombres décimaux)

Nombres rationnels

Les nombres rationnels peuvent s'exprimer sous forme de fraction.

Définition: Un nombre rationnel peut s'écrire sous la forme a/b, où a est un entier relatif et b un entier relatif non nul.

Exemple: 3/7 ∈ ℚ, -15/4 ∈ ℚ

Highlight: ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ