Sens de variation et comportement à l'infini
Cette page approfondit l'étude des suites numériques en se concentrant sur leur sens de variation et leur comportement à l'infini, des aspects essentiels pour la fiche sur les suites Terminale.
Le sens de variation d'une suite est défini comme suit :
- Une suite u est croissante si pour tout entier n ≥ 0, on a un+1 ≥ un.
- Une suite u est décroissante si pour tout entier n ≥ 0, on a un+1 ≤ un.
- Une suite u est monotone si elle est croissante ou décroissante.
- Une suite u est constante si pour tout entier n ≥ 0, on a un+1 = un.
Definition: Une suite strictement monotone présente des inégalités strictes entre ses termes consécutifs.
Pour étudier le sens de variation d'une suite, on peut suivre cette méthode :
- Calculer les premiers termes pour conjecturer le sens de variation.
- Exprimer la différence un+1 - un en fonction de n.
- Déterminer le signe de cette différence pour conclure sur le sens de variation.
Highlight: Pour les suites explicites définies par un = f(n), si f est monotone sur [0; +∞[, alors la suite u a le même sens de variation que la fonction f.
Concernant le comportement à l'infini, une suite peut :
- Diverger vers +∞ si un peut être aussi grand qu'on veut pour n suffisamment grand.
- Converger vers une limite L si un peut être rendu aussi proche qu'on veut de L pour n suffisamment grand.
- Diverger sans limite si les termes ne se stabilisent autour d'aucune valeur réelle.
Ces concepts sont fondamentaux pour l'analyse des suites et sont souvent abordés dans les exercices corrigés sens de variation d'une suite.
Example: Pour étudier le sens de variation d'une suite récurrente un+1 = un² - 2, on pourrait utiliser un outil comme GeoGebra pour visualiser sa représentation graphique et confirmer les résultats analytiques.
