Combinaison Linéaire et Coplanarité des Vecteurs

La combinaison linéaire de vecteurs est une technique fondamentale pour exprimer un vecteur à partir d'autres vecteurs.

• Pour exprimer un vecteur comme combinaison linéaire, on utilise la relation de Chasles : $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$
• Par exemple : $\vec{CE} = \vec{CA} + \vec{AE} = -2\vec{AM} + \vec{AE}$
• De même : $\vec{MG} = \vec{MC} + \vec{CG} = \vec{AM} + \vec{AE}$
• Et aussi : $\vec{MF} = \vec{MA} + \vec{AB} + \vec{BF} = -\vec{AM} + \vec{AB} + \vec{AE}$

La colinéarité des vecteurs est une propriété importante :

• Si $\vec{AB} = k \times \vec{AC}$, alors les vecteurs sont colinéaires
• Des vecteurs colinéaires signifient que les points A, B, C sont alignés
• Des droites portant des vecteurs colinéaires sont parallèles

La coplanarité des vecteurs concerne les vecteurs situés dans un même plan :

• Si $\vec{AB} = x\vec{AC} + y\vec{AD}$, alors les vecteurs sont coplanaires
• Des vecteurs non coplanaires forment une base de l'espace
• Pour vérifier si des vecteurs forment une base de l'espace, commencez par vérifier s'ils ne sont pas colinéaires

Concept Clé : La règle du parallélogramme affirme que si $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$, alors ABCD est un parallélogramme. Cette propriété est très utile pour les exercices de géométrie vectorielle.

Les combinaisons linéaires de 3 vecteurs sont particulièrement importantes pour déterminer si des vecteurs forment une base de l'espace vectoriel.

Équation Paramétrique et Positions Relatives

Équation Paramétrique d'une Droite

L'équation paramétrique d'une droite s'obtient à partir d'un point et d'un vecteur directeur :

• Exemple : Pour une droite (AB) avec A(-1,0,2) et B(3,2,-1), le vecteur directeur est $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 4\2\-3 \end{pmatrix}$
• L'équation paramétrique s'écrit : $\begin{cases} x=-1+4t\y=0+2t\z=2-3t \end{cases}$ avec $t\in\mathbb{R}$

Positions Relatives dans l'Espace

La position relative d'une droite et d'un plan peut être :

• Sécants en un point : les vecteurs directeurs (celui de la droite et les 2 du plan) sont coplanaires
• Parallèles : les vecteurs directeurs ne sont pas coplanaires

La position relative de deux droites peut être :

• Parallèles (ou confondues) : leurs vecteurs directeurs sont colinéaires
• Sécantes : vecteurs directeurs non-colinéaires et un point commun
• Non-coplanaires : vecteurs directeurs non-colinéaires et aucun point commun

Méthode : Pour déterminer si deux droites ont un point commun, on peut établir un système d'équations en supposant qu'elles sont sécantes. Par exemple, avec le système $\begin{cases} 5-t=k\2+2t=2+2k\1-3t=1+k \end{cases}$, si on trouve une impossibilité, les droites ne sont pas sécantes.

Pour passer d'une équation paramétrique à cartésienne, on doit éliminer le paramètre t entre les différentes équations du système paramétrique.

Positions Relatives et Orthogonalité

Position Relative de Deux Plans

Les deux plans peuvent être :

• Parallèles : 3 vecteurs directeurs (parmi les 4 des 2 plans) sont coplanaires
• Sécants : 3 vecteurs directeurs ne sont pas coplanaires

Orthogonalité dans l'Espace

L'orthogonalité est une notion fondamentale en géométrie de l'espace :

• Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$

• Le produit scalaire peut se calculer de deux façons :

  • Avec coordonnées : $\vec{u} \begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix}$ et $\vec{v} \begin{pmatrix} x' \ y' \ z' \end{pmatrix} \implies \vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz'$
  • Sans coordonnées : $\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\vec{u}, \vec{v})$

• La norme d'un vecteur : $||\vec{u}|| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

• La distance entre deux points A et B : $||\vec{AB}|| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$

• La distance d'un point à une droite : $||\vec{AH}||$ avec H le projeté orthogonal de A sur la droite

Exemple Important : Comment trouver un vecteur normal à un plan. Dans un plan B, $\vec{BA}$, $\vec{BC}$, $\vec{BF}$ avec C(0;1;0), F(0;0;1), A(1;0;0), B(0;0;0), G(0;1;1), on peut montrer que $\vec{CF}$ est normal au plan car orthogonal aux vecteurs $\vec{BA}$ et $\vec{BG}$ $\vec{CF} \cdot \vec{BA} = 0$ et $\vec{CF} \cdot \vec{BG} = 0$.

La position relative d'une droite et d'un plan dans l'espace dépend de l'orthogonalité entre le vecteur directeur de la droite et le vecteur normal au plan.

Équation Cartésienne et Distances

Équation Cartésienne d'un Plan

L'équation cartésienne d'un plan s'écrit sous la forme :

• $ax + by + cz + d = 0$
• où $\vec{n} \begin{pmatrix} a \ b \ c \end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan P
• Pour trouver d, on remplace x, y et z par les coordonnées d'un point du plan

Distance d'un Point à un Plan

Pour un plan P de vecteur normal $\vec{n}$ et un point A de l'espace :

• La distance de A au plan P est : $AH = \frac{|\vec{n}.\vec{AM}|}{||\vec{n}||}$
• où M est un point quelconque du plan et H le projeté orthogonal de A sur P

Position Relative d'une Droite et d'un Plan

• Si $\vec{n} \cdot \vec{u} = 0$ (vecteur normal au plan et vecteur directeur de la droite orthogonaux) :

  • La droite et le plan sont parallèles
  • Si un point de la droite appartient au plan, ils sont confondus
  • Sinon, ils sont strictement parallèles

• Si $\vec{n} \cdot \vec{u} \neq 0$ :

  • La droite et le plan sont sécants en un point

Concept Fondamental : La position relative de deux plans dépend de leurs vecteurs normaux. Si $\vec{n}$ et $\vec{n'}$ sont colinéaires, les plans sont parallèles (éventuellement confondus). Sinon, ils sont sécants selon une droite (d).

Ces outils permettent de résoudre des exercices complexes sur les droites et plans de l'espace et d'étudier leurs positions relatives.

Sphères dans l'Espace

Équation d'une Sphère

Une sphère peut être définie de plusieurs façons :

• Équation cartésienne d'une sphère de centre I$(x_1, y_1, z_1)$ et de rayon r :

  • $(x-x_1)^2 + (y-y_1)^2 + (z-z_1)^2 = r^2$

• Définition vectorielle : La sphère de diamètre [AB] est l'ensemble des points M tels que :

  • $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$

• Définition métrique : La sphère de centre I et de rayon r est l'ensemble des points M tels que :

  • $IM = r$

Position Relative d'un Plan et d'une Sphère

Il existe trois possibilités :

• Plan et sphère sécants selon un cercle : $\delta < r$
• Plan et sphère sans intersection : $\delta > r$
• Plan et sphère tangents en un point : $\delta = r$

Formule Importante : Pour résoudre des problèmes impliquant des équations paramétriques et cartésiennes, il est essentiel de maîtriser la formule de la distance d'un point à un plan : $d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ où $(x_0, y_0, z_0)$ sont les coordonnées du point et $ax + by + cz + d = 0$ l'équation du plan.

La résolution d'équations paramétriques impliquant des sphères nécessite souvent de combiner les équations de la sphère avec celles d'une droite ou d'un plan pour déterminer leurs intersections.