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Fiches révision: Combinaisons linéaires et géométrie dans l’espace

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Agathe Le Thellec

15/03/2023

Maths

fiche de révision et méthode géométrie dans l’espace

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Fiches révision: Combinaisons linéaires et géométrie dans l’espace

La géométrie dans l'espace explore les concepts de combinaison linéaire de vecteurs, positions relatives des droites et plans, et équations paramétriques. Ce guide détaille les notions clés et fournit des exercices corrigés pour maîtriser ces concepts mathématiques essentiels.

  • La combinaison linéaire permet d'exprimer des vecteurs en fonction d'autres vecteurs de base
  • Les positions relatives des droites et plans sont déterminées par l'analyse de leurs vecteurs directeurs
  • Les équations paramétriques et cartésiennes sont utilisées pour représenter droites et plans dans l'espace
  • L'orthogonalité et les produits scalaires sont des outils importants pour étudier les relations entre vecteurs
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15/03/2023

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GEOMETRIE DANS L'ESPACE COMBINAISON LINEAIRE. H 5 B Exprimer les vecteurs CE, ME et MF comme combi - naison linéaire de AM, AB, AE CE= CA +

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Équations paramétriques et positions relatives

Cette page se concentre sur les équations paramétriques des droites et les positions relatives des droites et plans dans l'espace. Elle fournit des formules et des méthodes pour analyser ces relations géométriques.

Définition: Une équation paramétrique d'une droite exprime les coordonnées d'un point de la droite en fonction d'un paramètre t.

Exemple: Pour une droite passant par A(-1,0,2) et B(3,2,-1), l'équation paramétrique est : x = -1 + 4t, y = 2t, z = 2 - 3t.

La page explique comment déterminer la position relative d'une droite et d'un plan, ainsi que celle de deux droites, en utilisant leurs vecteurs directeurs.

Highlight: Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Elles sont sécantes si elles ont un point commun, et non-coplanaires si elles n'en ont pas.

Une méthode de démonstration pour vérifier si deux droites ont un point commun est également présentée.

Vocabulaire: Le vecteur directeur d'une droite est un vecteur parallèle à cette droite.

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Positions relatives des plans et orthogonalité

Cette page traite des positions relatives de deux plans dans l'espace et introduit le concept d'orthogonalité. Elle présente également les formules du produit scalaire et de la norme d'un vecteur.

Définition: Deux plans sont parallèles si trois vecteurs directeurs choisis parmi les quatre des deux plans sont coplanaires.

La page explique comment utiliser le produit scalaire pour déterminer l'orthogonalité entre deux vecteurs.

Formule: Le produit scalaire de deux vecteurs u(x,y,z) et v(x',y',z') est donné par u·v = xx' + yy' + zz'.

Highlight: Deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul.

La page aborde également le calcul de la distance entre deux points et entre un point et une droite ou un plan.

Exemple: La distance entre deux points A et B est donnée par ||AB|| = √[(xB-xA)² + (yB-yA)² + (zB-zA)²].

Une démonstration pour trouver un vecteur normal à un plan est fournie, utilisant les propriétés d'orthogonalité.

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Équations cartésiennes et distances

Cette page se concentre sur les équations cartésiennes des plans et le calcul des distances dans l'espace. Elle fournit des méthodes pour déterminer les positions relatives des droites et des plans.

Définition: L'équation cartésienne d'un plan s'écrit sous la forme ax + by + cz + d = 0, où (a,b,c) est un vecteur normal au plan.

La page explique comment calculer la distance d'un point à un plan et comment déterminer la position relative d'une droite et d'un plan.

Highlight: Une droite et un plan sont parallèles si le vecteur directeur de la droite est orthogonal au vecteur normal du plan.

Des méthodes pour déterminer si deux plans sont sécants ou parallèles sont également présentées.

Vocabulaire: Le vecteur normal à un plan est un vecteur perpendiculaire à tous les vecteurs du plan.

Exemple: Pour vérifier si une droite (d) et un plan P sont parallèles, on vérifie si n·u = 0, où n est le vecteur normal au plan et u le vecteur directeur de la droite.

GEOMETRIE DANS L'ESPACE COMBINAISON LINEAIRE. H 5 B Exprimer les vecteurs CE, ME et MF comme combi - naison linéaire de AM, AB, AE CE= CA +

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Équations de sphère et positions relatives

Cette page présente les équations de sphère et les positions relatives entre une sphère et un plan. Elle fournit des formules et des définitions importantes pour l'étude des sphères dans l'espace.

Définition: L'équation d'une sphère de centre I(x₁,y₁,z₁) et de rayon r est (x-x₁)² + (y-y₁)² + (z-z₁)² = r².

La page explique également comment définir une sphère à partir de son diamètre.

Highlight: La sphère de diamètre [AB] est l'ensemble des points M de l'espace tels que MA · MB = 0.

Les positions relatives d'un plan et d'une sphère sont détaillées, avec trois cas possibles : sécants selon un cercle, tangents en un point, ou sans intersection.

Exemple: Un plan et une sphère sont tangents en un point si la distance du centre de la sphère au plan est égale au rayon de la sphère.

Cette page conclut le guide en fournissant des outils essentiels pour l'étude des sphères dans l'espace tridimensionnel.

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La géométrie dans l'espace explore les concepts de combinaison linéaire de vecteurs, positions relatives des droites et plans, et équations paramétriques. Ce guide détaille les notions clés et fournit des exercices corrigés pour maîtriser ces concepts mathématiques essentiels.

  • La combinaison linéaire permet d'exprimer des vecteurs en fonction d'autres vecteurs de base
  • Les positions relatives des droites et plans sont déterminées par l'analyse de leurs vecteurs directeurs
  • Les équations paramétriques et cartésiennes sont utilisées pour représenter droites et plans dans l'espace
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Équations paramétriques et positions relatives

Cette page se concentre sur les équations paramétriques des droites et les positions relatives des droites et plans dans l'espace. Elle fournit des formules et des méthodes pour analyser ces relations géométriques.

Définition: Une équation paramétrique d'une droite exprime les coordonnées d'un point de la droite en fonction d'un paramètre t.

Exemple: Pour une droite passant par A(-1,0,2) et B(3,2,-1), l'équation paramétrique est : x = -1 + 4t, y = 2t, z = 2 - 3t.

La page explique comment déterminer la position relative d'une droite et d'un plan, ainsi que celle de deux droites, en utilisant leurs vecteurs directeurs.

Highlight: Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Elles sont sécantes si elles ont un point commun, et non-coplanaires si elles n'en ont pas.

Une méthode de démonstration pour vérifier si deux droites ont un point commun est également présentée.

Vocabulaire: Le vecteur directeur d'une droite est un vecteur parallèle à cette droite.

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Positions relatives des plans et orthogonalité

Cette page traite des positions relatives de deux plans dans l'espace et introduit le concept d'orthogonalité. Elle présente également les formules du produit scalaire et de la norme d'un vecteur.

Définition: Deux plans sont parallèles si trois vecteurs directeurs choisis parmi les quatre des deux plans sont coplanaires.

La page explique comment utiliser le produit scalaire pour déterminer l'orthogonalité entre deux vecteurs.

Formule: Le produit scalaire de deux vecteurs u(x,y,z) et v(x',y',z') est donné par u·v = xx' + yy' + zz'.

Highlight: Deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul.

La page aborde également le calcul de la distance entre deux points et entre un point et une droite ou un plan.

Exemple: La distance entre deux points A et B est donnée par ||AB|| = √[(xB-xA)² + (yB-yA)² + (zB-zA)²].

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Équations cartésiennes et distances

Cette page se concentre sur les équations cartésiennes des plans et le calcul des distances dans l'espace. Elle fournit des méthodes pour déterminer les positions relatives des droites et des plans.

Définition: L'équation cartésienne d'un plan s'écrit sous la forme ax + by + cz + d = 0, où (a,b,c) est un vecteur normal au plan.

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Équations de sphère et positions relatives

Cette page présente les équations de sphère et les positions relatives entre une sphère et un plan. Elle fournit des formules et des définitions importantes pour l'étude des sphères dans l'espace.

Définition: L'équation d'une sphère de centre I(x₁,y₁,z₁) et de rayon r est (x-x₁)² + (y-y₁)² + (z-z₁)² = r².

La page explique également comment définir une sphère à partir de son diamètre.

Highlight: La sphère de diamètre [AB] est l'ensemble des points M de l'espace tels que MA · MB = 0.

Les positions relatives d'un plan et d'une sphère sont détaillées, avec trois cas possibles : sécants selon un cercle, tangents en un point, ou sans intersection.

Exemple: Un plan et une sphère sont tangents en un point si la distance du centre de la sphère au plan est égale au rayon de la sphère.

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Combinaison linéaire et colinéarité des vecteurs

Cette page introduit les concepts fondamentaux de la combinaison linéaire de vecteurs et de la colinéarité dans l'espace. Elle explique comment exprimer des vecteurs comme combinaisons linéaires d'autres vecteurs et présente la notion de colinéarité.

Définition: Une combinaison linéaire de vecteurs est l'expression d'un vecteur comme somme de multiples scalaires d'autres vecteurs.

Exemple: Le vecteur CE est exprimé comme CE = -2AM + AE.

La page aborde également la coplanéarité des vecteurs et introduit la règle du parallélogramme pour vérifier si des vecteurs forment une base de l'espace.

Highlight: Pour déterminer si des vecteurs forment une base de l'espace, il faut d'abord vérifier s'ils ne sont pas colinéaires ou coplanaires.

La relation de Chasles est mentionnée comme un outil utile pour manipuler les vecteurs.

Vocabulaire: La relation de Chasles stipule que pour trois points A, B et C, on a toujours AC = AB + BC.

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