Page 2 : Exercice sur les probabilités dans une classe

Cette page présente un exercice pratique sur les probabilités conditionnelles dans le contexte d'une classe de 35 élèves. L'exercice porte sur le club théâtre $T$ et la chorale $C$ de l'école.

Example: Dans une classe de 35 élèves, le club théâtre compte 10 élèves et la chorale 12 élèves. 18 élèves ne participent à aucune de ces activités.

L'exercice demande de calculer la probabilité qu'un élève choisi au hasard :

1. Appartienne au club théâtre ou à la chorale
2. Appartienne à la fois au club théâtre et à la chorale

La résolution de cet exercice implique l'utilisation de la formule de la probabilité de l'union de deux événements : p$T∪C$ = p$T$ + p$C$ - p$T∩C$.

Highlight: La probabilité que l'élève appartienne au club théâtre ou à la chorale est de 17/35.

Cette page illustre parfaitement l'application pratique des concepts de probabilités conditionnelles et d'union d'événements.

Page 3 : Suite de l'exercice et concept d'inclusion

Cette page poursuit l'exercice de la page précédente et introduit le concept d'inclusion en probabilités conditionnelles.

Highlight: La probabilité que l'élève appartienne à la fois au club théâtre et à la chorale est de 5/35.

Le concept d'inclusion est illustré à l'aide de diagrammes de Venn, montrant les relations entre les ensembles A et B.

Definition: L'inclusion en probabilités se produit lorsqu'un événement A est entièrement contenu dans un événement B. Dans ce cas, A∩B = A et A∪B = B.

Cette page renforce la compréhension des relations entre les événements en probabilités, un aspect crucial pour résoudre des problèmes plus complexes de probabilités conditionnelles.

Page 4 : Arbres pondérés

Cette page introduit le concept d'arbres pondérés, un outil visuel puissant pour représenter et calculer les probabilités conditionnelles.

Les arbres pondérés sont particulièrement utiles pour visualiser les séquences d'événements et leurs probabilités associées. Ils permettent de calculer facilement les probabilités d'événements composés.

Vocabulary: Un arbre pondéré est un diagramme qui représente les différentes possibilités d'une expérience aléatoire, avec les probabilités associées à chaque branche.

La page présente plusieurs formules importantes liées aux arbres pondérés :

Highlight:

• p$A∩B$ = p$A$ × pA$B$
• pA$B$ = p$A∩B$ / p$A$
• p$A∩B$ = p$B$ × pB$A$

Ces formules sont essentielles pour résoudre des problèmes complexes de probabilités conditionnelles et comprendre la relation entre les événements dépendants.

Page 5 : Probabilités conditionnelles et indépendance

Cette page se concentre sur les définitions formelles des probabilités conditionnelles et l'indépendance des événements.

Definition: La probabilité conditionnelle de B sachant A, notée pA$B$, est définie par pA$B$ = p$A∩B$ / p$A$, où p$A$ ≠ 0.

De même, si p$B$ ≠ 0, on peut définir la probabilité de A sachant B : pB$A$ = p$A∩B$ / p$B$.

La page introduit ensuite le concept d'indépendance entre événements :

Highlight: Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si p$A∩B$ = p$A$ × p$B$.

Il est important de noter que si A et B sont indépendants, A et B̄ le sont aussi.

La page se termine par une définition des événements incompatibles :

Definition: Deux événements A et B sont incompatibles s'ils ne peuvent pas se réaliser en même temps. Dans ce cas, A∩B = ∅ et p$A∩B$ = 0.

Ces concepts sont fondamentaux pour comprendre et résoudre des problèmes complexes de probabilités conditionnelles.

Page 6 : Justification de l'indépendance et exercices

Cette page explique comment justifier l'indépendance de deux événements et présente des exercices pratiques sur les probabilités conditionnelles.

Pour justifier l'indépendance de deux événements A et B, on peut :

1. Déterminer p$A$, p$B$ et p$A∩B$
2. Calculer p$A$ × p$B$ et comparer le résultat avec p$A∩B$
3. Si p$A∩B$ = p$A$ × p$B$, alors A et B sont indépendants

Example: Un exercice montre comment vérifier l'indépendance en comparant p$A∩B$ avec p$A$ × p$B$.

La page présente également un exercice sur les probabilités conditionnelles dans le contexte des transports en commun et des deux-roues.

Highlight: La probabilité qu'un élève choisi utilise les transports en commun est calculée comme pT$2R$ = 210/750 = 28/100.

Ces exercices pratiques aident à consolider la compréhension des concepts de probabilités conditionnelles et d'indépendance des événements.

Page 7 : Suite des exercices sur les probabilités conditionnelles

Cette page poursuit les exercices sur les probabilités conditionnelles, en se concentrant sur des situations concrètes impliquant des transports et des appels téléphoniques.

L'exercice sur les transports se termine avec le calcul de la probabilité qu'un élève choisi utilise un deux-roues :

Highlight: La probabilité qu'un élève choisi utilise un deux-roues est de 24/100.

Un nouvel exercice est introduit, portant sur la probabilité de recevoir des appels téléphoniques :

Example: Soit A l'événement "le premier téléphone sonne" et B l'événement "le deuxième téléphone sonne". On donne p$A$ = 0,4 et p$B$ = 0,3.

Cet exercice illustre l'application de l'indépendance des événements dans un contexte pratique. Il montre comment utiliser les probabilités conditionnelles pour résoudre des problèmes de la vie quotidienne.

Page 8 : Résolution de l'exercice sur les appels téléphoniques

Cette page présente la résolution de l'exercice sur les appels téléphoniques, illustrant l'application pratique des concepts d'indépendance et de probabilités conditionnelles.

Highlight: Les événements A $le premier téléphone sonne$ et B $le deuxième téléphone sonne$ sont indépendants. Par conséquent, Ā et B̄ sont également indépendants.

On donne : p$Ā$ = 0,6 et p$B̄$ = 0,7

Comme Ā et B̄ sont indépendants, on peut calculer la probabilité que la fille ne soit pas dérangée :

Example: p$Ā∩B̄$ = p$Ā$ × p$B̄$ = 0,6 × 0,7 = 0,42

Highlight: La probabilité que la fille ne soit pas dérangée est de 42%.

Cet exemple montre comment utiliser l'indépendance des événements pour simplifier les calculs de probabilités conditionnelles dans des situations réelles.

Page 9 : Exercice sur le tirage de boules

Cette page présente un exercice sur le tirage de boules, illustrant l'application des probabilités conditionnelles dans un contexte de tirage aléatoire.

L'exercice implique un sac contenant 3 boules rouges $R$ et 2 boules vertes $V$. On effectue deux tirages successifs sans remise.

Example: Les issues possibles sont : RR, RV, VR, VV.

L'exercice demande de calculer : a) La probabilité que les deux boules soient de la même couleur $événement A$ b) La probabilité qu'au moins une boule soit verte $événement B$

Pour résoudre cet exercice, il faut utiliser les concepts de probabilités conditionnelles et de tirage sans remise.

Highlight: p$RR$ = 3/5 × 2/4 = 3/10

Cette page montre comment appliquer les principes des probabilités conditionnelles à des situations de tirage aléatoire, un type de problème fréquent dans les exercices de probabilités.

Page 10 : Suite de l'exercice sur le tirage de boules

Cette page poursuit la résolution de l'exercice sur le tirage de boules, illustrant l'application des probabilités conditionnelles dans un contexte de tirage sans remise.

Pour calculer la probabilité de l'événement A $les deux boules sont de la même couleur$, on additionne les probabilités de tirer deux boules rouges et deux boules vertes :

Example: p$A$ = p$RR$ + p$VV$ = 3/10 + 1/10 = 4/10 = 2/5

Pour l'événement B $au moins une boule est verte$, on utilise le principe du complémentaire :

Highlight: p$B$ = 1 - p$RR$ = 1 - 3/10 = 7/10 = 0,7

Cette approche illustre comment utiliser efficacement les propriétés des probabilités conditionnelles pour résoudre des problèmes complexes. Elle montre également l'importance de considérer les événements complémentaires dans les calculs de probabilités.

Page 11 : Partition de l'univers et formule des probabilités totales

Cette page introduit deux concepts importants en probabilités conditionnelles : la partition de l'univers et la formule des probabilités totales.

Definition: Une partition de l'univers est un ensemble d'événements A, B, C, etc. qui satisfont les conditions suivantes :

1. A ≠ ∅, B ≠ ∅, C ≠ ∅ $les événements peuvent se réaliser$
2. A∩B = ∅, A∩C = ∅, B∩C = ∅ $les événements sont incompatibles deux à deux$
3. A∪B∪C = Ω $la réunion des événements est l'univers entier$

La formule des probabilités totales est ensuite présentée, utilisant un arbre pondéré comme illustration :

Highlight: Si D = $A∩D$ ∪ $B∩D$ ∪ $C∩D$, où A∩D, B∩D et C∩D sont deux à deux incompatibles, alors : p$D$ = p$A∩D$ + p$B∩D$ + p$C∩D$

Cette formule est cruciale pour résoudre des problèmes complexes de probabilités conditionnelles, notamment ceux impliquant des arbres de probabilités.