Variations, représentation graphique et résolution d'équations

La représentation graphique d'un polynôme du second degré est une parabole. Les variations de la fonction dépendent du signe du coefficient a.

Pour résoudre une équation du second degré ax²+bx+c=0, on utilise le discriminant Δ:

• Si Δ < 0, l'équation n'a pas de solution réelle.
• Si Δ = 0, l'équation a une unique solution x = -b/(2a).
• Si Δ > 0, l'équation a deux solutions distinctes.

Example: Pour f$x$ = x²-2x+1, le discriminant Δ = $-2$²-4(1)(1) = 0, donc l'équation x²-2x+1 = 0 a une unique solution x = 1.

Highlight: La somme et le produit des racines d'un polynôme du second degré sont liés aux coefficients : S = -b/a et P = c/a.

Factorisation et signe d'un trinôme

La factorisation d'un trinôme dépend du signe du discriminant Δ:

• Si Δ = 0, f$x$ = a$x-α$²
• Si Δ > 0, f$x$ = ax-x₁$$x-x₂, où x₁ et x₂ sont les racines du polynôme.
• Si Δ < 0, le trinôme n'admet pas de forme factorisée réelle.

Le signe du trinôme varie selon la valeur du discriminant et le signe du coefficient a:

• Si Δ > 0, le trinôme change de signe aux racines.
• Si Δ = 0, le trinôme garde le signe de a sauf en son unique racine.
• Si Δ < 0, le trinôme garde le signe de a pour tout réel x.

Example: Pour f$x$ = x²-1, Δ = 4 > 0, donc f$x$ = x-1$$x+1. Le trinôme est positif pour |x| > 1 et négatif pour -1 < x < 1.

Highlight: L'étude du signe d'un trinôme est essentielle pour résoudre des inéquations du second degré.

Définitions et forme canonique des polynômes du second degré

Ce chapitre introduit les concepts fondamentaux des polynômes du second degré. Une fonction polynôme du second degré, aussi appelée trinôme, est définie par f$x$ = ax²+bx+c, où a, b et c sont des coefficients réels et a est non nul.

La forme canonique d'un polynôme du second degré s'écrit a$x-α$²+β, où α et β sont des réels. Cette forme est essentielle pour étudier les propriétés du polynôme.

Définition: Un polynôme du second degré est une fonction de la forme f$x$ = ax²+bx+c, avec a ≠ 0.

Vocabulaire: Le terme "discriminant" est introduit, noté Δ = b²-4ac, et joue un rôle crucial dans l'étude des polynômes du second degré.

Highlight: La forme canonique permet de déterminer facilement le sommet de la parabole associée au polynôme.