Matières

Maths

855

•

15 déc. 2021

•

1 page

Exercices corrigés : Divisibilité et Congruence pour s'amuser

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Anne

@anne_pmbk

Divisibility and Congruence in Z: Key Concepts and Properties

This... Affiche plus

STABILO S
STABILO Swing
a)) Maths expert.
16) Diviaibilité & congruance dans 2.
MULTIPLES ET DIVISEURS
pat a, b E 2: a divise b => alb (b= a

Page 1: Divisibility, Euclidean Division, and Congruence in Z

This page introduces key concepts related to divisibilité dans Z and congruence relations. It covers the definitions of multiples and divisors, properties of divisibility, the Euclidean division theorem, and basic properties of congruences.

The page begins by defining divisibility in Z. For integers a and b, if a divides b, it is denoted as a|b, meaning b = ak for some integer k. This leads to the concepts of multiples and divisors.

Definition: A multiple of a is any integer b such that a|b. Conversely, a is called a divisor of b.

Some important properties of divisibility are highlighted:

0 is a multiple of every integer.
Every non-zero integer divides itself and 1.
Divisibility is transitive: if a|b and b|c, then a|c.
Linear combination property: if a|b and a|c, then a| $mb + nc$ for any integers m and n.

The page then introduces the théorème de la division euclidienne $Euclidean division theorem$ for integers:

Definition: For any integer a and positive integer b, there exist unique integers q $quotient$ and r $remainder$ such that a = bq + r, where 0 ≤ r < b.

This theorem is fundamental in number theory and has many applications. The uniqueness of q and r is emphasized, noting that r is the only multiple of b between -b and b.

Example: When dividing by 3, the possible remainders are 0, 1, and 2. Any integer can be written in the form 3k, 3k+1, or 3k+2 for some integer k.

Finally, the page introduces congruence modulo and some of its basic properties:

Definition: Two integers a and b are congruent modulo m if their difference a - b is divisible by m. This is denoted as a ≡ b $mod m$ .

The properties of congruence with respect to addition and multiplication are stated:

If a ≡ b $mod m$ and c ≡ d $mod m$ , then a + c ≡ b + d $mod m$ .
If a ≡ b $mod m$ and c ≡ d $mod m$ , then ac ≡ bd $mod m$ .

These properties are crucial for understanding modular arithmetic and its applications in various areas of mathematics and computer science.

Highlight: The concepts of divisibility and congruence form the foundation for many advanced topics in number theory and abstract algebra.

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4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

utilisatrice Android

Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

utilisateur Android

PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

utilisatrice d'Android

Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

utilisatrice iOS

C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

utilisateur IOS

Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

utilisatrice iOS

Stefan S

utilisateur iOS

Samantha Klich

utilisatrice Android

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

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Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

Sudenaz Ocak

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Greenlight Bonnie

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PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

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Exercices corrigés : Divisibilité et Congruence pour s'amuser

Anne

@anne_pmbk

Divisibility and Congruence in Z: Key Concepts and Properties

This document covers fundamental concepts of divisibility and congruence in the set of integers (Z), including:

Definitions of multiples and divisors
Properties of divisibility
The Euclidean division theorem
Congruence relations and... Affiche plus

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Page 1: Divisibility, Euclidean Division, and Congruence in Z

The page begins by defining divisibility in Z. For integers a and b, if a divides b, it is denoted as a|b, meaning b = ak for some integer k. This leads to the concepts of multiples and divisors.

Definition: A multiple of a is any integer b such that a|b. Conversely, a is called a divisor of b.

Some important properties of divisibility are highlighted:

0 is a multiple of every integer.
Every non-zero integer divides itself and 1.
Divisibility is transitive: if a|b and b|c, then a|c.
Linear combination property: if a|b and a|c, then a| $mb + nc$ for any integers m and n.

The page then introduces the théorème de la division euclidienne $Euclidean division theorem$ for integers:

Definition: For any integer a and positive integer b, there exist unique integers q $quotient$ and r $remainder$ such that a = bq + r, where 0 ≤ r < b.

This theorem is fundamental in number theory and has many applications. The uniqueness of q and r is emphasized, noting that r is the only multiple of b between -b and b.

Example: When dividing by 3, the possible remainders are 0, 1, and 2. Any integer can be written in the form 3k, 3k+1, or 3k+2 for some integer k.

Finally, the page introduces congruence modulo and some of its basic properties:

Definition: Two integers a and b are congruent modulo m if their difference a - b is divisible by m. This is denoted as a ≡ b $mod m$ .

The properties of congruence with respect to addition and multiplication are stated:

If a ≡ b $mod m$ and c ≡ d $mod m$ , then a + c ≡ b + d $mod m$ .
If a ≡ b $mod m$ and c ≡ d $mod m$ , then ac ≡ bd $mod m$ .

These properties are crucial for understanding modular arithmetic and its applications in various areas of mathematics and computer science.

Highlight: The concepts of divisibility and congruence form the foundation for many advanced topics in number theory and abstract algebra.

Rien ne te convient ? Explore d'autres matières.

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Stefan S

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Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

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super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

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Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

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Khady

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

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Raoul

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Thomas R

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super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

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Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

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