Suites arithmétiques, géométriques et premières limites

Les suites arithmétiques (SA) suivent le schéma $u_n = u_0 + nr$ ou $u_n = u_1 + (n-1)r$ où $r$ est la raison. Pour les suites géométriques (SG), c'est $v_n = v_0 \times q^n$ avec $q$ comme raison.

Quand on parle de limites infinies, c'est simple : si $r > 0$, alors $\lim r^n = +\infty$ et $\lim(-r^n) = -\infty$. Les signes se comportent logiquement selon la parité de $n$.

Pour les limites finies, une suite converge vers $l$ si elle s'en rapproche de plus en plus. Les classiques comme $\frac{1}{n}$ ou $\frac{1}{n^2}$ tendent vers 0.

Attention ! Certaines suites n'ont pas de limite du tout, comme $(-1)^n$ qui oscille entre -1 et 1. On dit alors qu'elles divergent.

Opérations sur les limites et théorèmes

Les opérations sur les limites suivent des règles précises. Pour l'addition : limite finie + limite finie = somme des limites, mais $+\infty + (-\infty)$ donne une forme indéterminée (F.I).

Le théorème de comparaison est ton allié : si $u_n \leq v_n$ à partir d'un certain rang et $\lim v_n = +\infty$, alors $\lim u_n = +\infty$ aussi. C'est logique !

Le théorème des gendarmes fonctionne quand une suite est "coincée" entre deux autres : si $u_n \leq v_n \leq w_n$ et que $u_n$ et $w_n$ tendent vers la même limite $\ell$, alors $v_n$ tend aussi vers $\ell$.

Astuce bac : Les formes indéterminées $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $0 \times \infty$ nécessitent toujours une technique particulière pour lever l'indétermination.

Une suite bornée est à la fois majorée et minorée, et toute suite convergente est forcément bornée.