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Découvre la Formule et Variance de la Loi Binomiale et Bernoulli !

288

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N

Noélie WEIMER

15/07/2025

Maths

Fiche sur la loi binomiale

Matières

Maths

6 098

•

15 juil. 2025

•

1 page

Découvre la Formule et Variance de la Loi Binomiale et Bernoulli !

N

Noélie WEIMER

@nolieweimer_bywv

La loi binomiale est un concept fondamental en probabilités, utilisé... Affiche plus

LOI BINOMIALE [def] plusieurs expériences sont identiques etindépendantes (= aléatoire) si elles ont les mêmes issues et si les probabilités

Loi binomiale : définition et propriétés

La loi binomiale est un concept clé en probabilités, utilisé pour modéliser des expériences aléatoires répétées avec deux issues possibles. Elle trouve de nombreuses applications dans divers domaines.

Définition: Une loi binomiale est une loi de probabilité discrète sur l'ensemble {0, 1, 2, ..., n} qui donne le nombre de succès dans une série d'épreuves de Bernoulli indépendantes.

Les épreuves de Bernoulli sont à la base de la loi binomiale.

Vocabulaire: Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues, généralement nommées "succès" deprobabiliteˊpde probabilité p et "échec" deprobabiliteˊ1−pde probabilité 1-p.

Les paramètres de la loi binomiale sont :

  • n : le nombre d'épreuves
  • p : la probabilité de succès à chaque épreuve

On note X ~ Bn,pn,p pour indiquer que X suit une loi binomiale de paramètres n et p.

La formule de la loi binomiale pour calculer la probabilité d'obtenir exactement k succès est :

Formule: PX=kX=k = Cn,kn,k * p^k * 1−p1-p^n−kn-k

Où Cn,kn,k est le coefficient binomial, représentant le nombre de façons de choisir k succès parmi n essais.

Highlight: Pour justifier qu'une variable X suit une loi binomiale, il faut vérifier que les conditions d'indépendance et d'identité des épreuves sont remplies.

Les propriétés importantes de la loi binomiale incluent :

  1. Espérance : EXX = np
  2. Variance : VXX = np1−p1-p
  3. Écart-type : σXX = √np(1−pnp(1-p)

Example: Pour calculer PX=kX=k avec une calculatrice, on peut utiliser la fonction de densité de probabilité binomiale. Sur une TI-83, cela se fait avec la commande "binomFdpn,p,kn,p,k".

Il est important de noter la différence entre la loi binomiale et la loi de Bernoulli :

Highlight: La différence entre la loi binomiale et la loi de Bernoulli est que la loi de Bernoulli modélise une seule épreuve, tandis que la loi binomiale modélise une série d'épreuves de Bernoulli indépendantes.

Pour les calculs pratiques, on peut utiliser des outils comme des calculatrices scientifiques ou des ressources en ligne.

Example: Pour le calcul de la loi binomiale en ligne, il existe de nombreux sites web offrant des calculateurs binomiaux interactifs.

En conclusion, la loi binomiale est un outil puissant pour modéliser et analyser des situations impliquant des essais répétés avec deux issues possibles. Sa compréhension est essentielle pour de nombreux domaines des mathématiques appliquées et des statistiques.



Si on te demande...

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Notre compagnon IA est spécialement conçu pour répondre aux besoins des étudiants. Sur la base des millions d'éléments de contenu que nous avons sur la plateforme, nous pouvons fournir des réponses vraiment significatives et pertinentes aux étudiants. Mais il ne s'agit pas seulement de réponses, le compagnon a encore plus pour but de guider les élèves dans leurs défis d'apprentissage quotidiens, avec des plans d'étude personnalisés, des quiz ou des éléments de contenu dans le chat et une personnalisation à 100% basée sur les compétences et les développements de l'étudiant.

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Tu peux télécharger l'application dans Google Play Store et dans l'App Store d'Apple.

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Oui, tu as un accès entièrement gratuit à tous les contenus de l'appli, tu peux chatter ou suivre les créateurs à tout moment. De plus, nous proposons Knowunity Premium, qui te permet de réviser sans limites!

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4.8/5

Google Play

L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

utilisatrice Android

Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

utilisateur Android

PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

utilisatrice d'Android

Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

utilisatrice iOS

C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

utilisateur IOS

Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

utilisatrice iOS

L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

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Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

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Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

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Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

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Khady

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

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C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

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Ella

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Noélie WEIMER

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La loi binomiale est un concept fondamental en probabilités, utilisé pour modéliser des expériences à deux issues répétées de manière indépendante.

  • Elle s'applique aux épreuves de Bernoulli répétées
  • Ses paramètres sont le nombre d'essais n et la probabilité de succès... Affiche plus

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Loi binomiale : définition et propriétés

La loi binomiale est un concept clé en probabilités, utilisé pour modéliser des expériences aléatoires répétées avec deux issues possibles. Elle trouve de nombreuses applications dans divers domaines.

Définition: Une loi binomiale est une loi de probabilité discrète sur l'ensemble {0, 1, 2, ..., n} qui donne le nombre de succès dans une série d'épreuves de Bernoulli indépendantes.

Les épreuves de Bernoulli sont à la base de la loi binomiale.

Vocabulaire: Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues, généralement nommées "succès" deprobabiliteˊpde probabilité p et "échec" deprobabiliteˊ1−pde probabilité 1-p.

Les paramètres de la loi binomiale sont :

  • n : le nombre d'épreuves
  • p : la probabilité de succès à chaque épreuve

On note X ~ Bn,pn,p pour indiquer que X suit une loi binomiale de paramètres n et p.

La formule de la loi binomiale pour calculer la probabilité d'obtenir exactement k succès est :

Formule: PX=kX=k = Cn,kn,k * p^k * 1−p1-p^n−kn-k

Où Cn,kn,k est le coefficient binomial, représentant le nombre de façons de choisir k succès parmi n essais.

Highlight: Pour justifier qu'une variable X suit une loi binomiale, il faut vérifier que les conditions d'indépendance et d'identité des épreuves sont remplies.

Les propriétés importantes de la loi binomiale incluent :

  1. Espérance : EXX = np
  2. Variance : VXX = np1−p1-p
  3. Écart-type : σXX = √np(1−pnp(1-p)

Example: Pour calculer PX=kX=k avec une calculatrice, on peut utiliser la fonction de densité de probabilité binomiale. Sur une TI-83, cela se fait avec la commande "binomFdpn,p,kn,p,k".

Il est important de noter la différence entre la loi binomiale et la loi de Bernoulli :

Highlight: La différence entre la loi binomiale et la loi de Bernoulli est que la loi de Bernoulli modélise une seule épreuve, tandis que la loi binomiale modélise une série d'épreuves de Bernoulli indépendantes.

Pour les calculs pratiques, on peut utiliser des outils comme des calculatrices scientifiques ou des ressources en ligne.

Example: Pour le calcul de la loi binomiale en ligne, il existe de nombreux sites web offrant des calculateurs binomiaux interactifs.

En conclusion, la loi binomiale est un outil puissant pour modéliser et analyser des situations impliquant des essais répétés avec deux issues possibles. Sa compréhension est essentielle pour de nombreux domaines des mathématiques appliquées et des statistiques.

Si on te demande...

Qu'est-ce que le compagnon IA de Knowunity ?

Notre compagnon IA est spécialement conçu pour répondre aux besoins des étudiants. Sur la base des millions d'éléments de contenu que nous avons sur la plateforme, nous pouvons fournir des réponses vraiment significatives et pertinentes aux étudiants. Mais il ne s'agit pas seulement de réponses, le compagnon a encore plus pour but de guider les élèves dans leurs défis d'apprentissage quotidiens, avec des plans d'étude personnalisés, des quiz ou des éléments de contenu dans le chat et une personnalisation à 100% basée sur les compétences et les développements de l'étudiant.

Où puis-je télécharger l'application Knowunity ?

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L'application est-elle vraiment gratuite ?

Oui, tu as un accès entièrement gratuit à tous les contenus de l'appli, tu peux chatter ou suivre les créateurs à tout moment. De plus, nous proposons Knowunity Premium, qui te permet de réviser sans limites!

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4.9/5

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L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

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Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

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super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

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Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

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L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

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Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

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Khady

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

utilisatrice iOS

C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

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Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

utilisatrice iOS

L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

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Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

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Leny

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Sudenaz Ocak

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Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

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C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

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