Théorèmes de comparaison et convergence des suites

Cette page présente plusieurs théorèmes cruciaux pour l'étude de la convergence d'une suite et la résolution d'exercices corrigés sur les suites.

Le théorème de comparaison est un outil puissant pour déterminer la limite d'une suite en la comparant à une autre suite dont on connaît la limite.

Définition: Théorème de comparaison : Soient (un) et (vn) deux suites définies sur ℕ. Si, à partir d'un certain rang, un ≤ vn et lim un = +∞, alors lim vn = +∞.

Ce théorème est particulièrement utile pour montrer qu'une suite tend vers l'infini en la comparant à une suite plus simple dont on connaît déjà la limite.

Le théorème des gendarmes, également appelé théorème d'encadrement, est un autre outil essentiel pour déterminer la limite d'une suite.

Définition: Théorème des gendarmes : Si, à partir d'un certain rang, vn ≤ un ≤ wn, et si lim vn = lim wn = L, alors lim un = L.

Example: Les fonctions cos(n) et sin(n) varient entre -1 et 1, ce qui peut être utilisé pour encadrer certaines suites et déterminer leur limite.

Le théorème de convergence monotone fournit des conditions suffisantes pour la convergence des suites monotones.

Highlight: Une suite majorée et croissante converge, de même qu'une suite minorée et décroissante.

Enfin, le document présente un tableau récapitulatif des limites de suites géométriques en fonction de la raison q :

• Si |q| < 1, la suite converge vers 0.
• Si q = 1, la suite est constante.
• Si |q| > 1 ou q = -1, la suite diverge.
• Si q > 1, la suite tend vers +∞.

Ces théorèmes et résultats sont essentiels pour résoudre des exercices sur la convergence d'une suite et pour comprendre le comportement asymptotique des suites, un sujet central dans les exercices corrigés de suites en Terminale PDF.