Le Théorème des Valeurs Intermédiaires et ses Applications

Ce document présente le théorème des valeurs intermédiaires et ses implications pour les fonctions continues et monotones sur un intervalle.

Définition: Le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) affirme que pour une fonction continue sur un intervalle, toute valeur entre les valeurs aux extrémités de l'intervalle est atteinte au moins une fois par la fonction.

Le document détaille les hypothèses nécessaires pour appliquer le théorème, notées LEIR :

Vocabulaire: LEIR - Acronyme pour les conditions d'application du théorème : La fonction f est continue sur un intervalle I.

Pour les fonctions strictement monotones (croissantes ou décroissantes), le TVI a des implications particulières :

Highlight: Pour une fonction f strictement monotone et continue sur un intervalle I, l'image de I par f est un intervalle J.

Le document explique ensuite comment utiliser le TVI pour résoudre des équations de la forme f(x) = d :

1. Si d ∈ J, l'équation f(x) = d admet une unique solution sur I.
2. Si d ∉ J, l'équation f(x) = d n'admet pas de solution sur I.

Example: Pour une fonction f strictement croissante sur [a; +∞[, si f(a) > d, alors l'équation f(x) = d n'a pas de solution sur cet intervalle.

Le document conclut en donnant des critères pour déterminer l'absence de solution :

Highlight: Pour une fonction f admettant un extremum (maximum ou minimum) sur I, si la valeur d est supérieure au maximum ou inférieure au minimum, l'équation f(x) = d n'a pas de solution sur I.

Ces concepts sont essentiels pour la démonstration du théorème des valeurs intermédiaires et ses applications dans divers domaines mathématiques, y compris la résolution d'exercices corrigés sur le théorème des valeurs intermédiaires.