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Équations Cartésiennes Faciles: Exercices Corrigés pour Seconde

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Trichard Rose

31/03/2023

Maths

Fiches mathématiques seconde

Équations Cartésiennes Faciles: Exercices Corrigés pour Seconde

L'équation cartésienne d'une droite est un concept fondamental en géométrie analytique. Elle permet de définir une droite dans un plan muni d'un repère. Cette équation peut s'écrire sous deux formes principales : la forme réduite y = mx + p et la forme longue ax + by + c = 0. La compréhension de ces équations est essentielle pour tracer une droite avec une équation cartésienne et résoudre divers problèmes géométriques.

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31/03/2023

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mathématiques
EQUATION GARTESIENNE D'UNE DROITE
dans le plan muni d'un repère, toute droite (1) peut être totalement
définie par son équ

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Détermination de l'équation cartésienne d'une droite

Il existe plusieurs méthodes pour déterminer une équation cartésienne de la droite (AB) :

  1. Méthode du coefficient directeur :

    • Calculer m = (yB - yA) / (xB - xA)
    • Utiliser un point (A ou B) pour trouver p : yA = mxA + p
  2. Méthode du système d'équations :

    • Écrire un système avec les coordonnées des deux points
    • Résoudre pour trouver m et p
  3. Méthode des vecteurs colinéaires :

    • Utiliser la colinéarité des vecteurs AB et AM pour obtenir une équation cartésienne longue
    • Isoler y pour obtenir la forme réduite
  4. Méthode graphique :

    • Lire directement le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine sur le graphique

Exemple : Pour trouver l'équation cartésienne d'une droite avec deux points A(1, 2) et B(3, 6), on calcule : m = (6 - 2) / (3 - 1) = 2 Puis on utilise A : 2 = 2(1) + p, donc p = 0 L'équation est y = 2x + 0 ou simplement y = 2x

Ces méthodes permettent de résoudre efficacement des exercices d'équation cartésienne.

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EQUATION GARTESIENNE D'UNE DROITE
dans le plan muni d'un repère, toute droite (1) peut être totalement
définie par son équ

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Équation cartésienne et vecteur directeur

L'équation cartésienne d'une droite dans l'espace est étroitement liée à son vecteur directeur.

Définition : Un vecteur directeur d'une droite D est un vecteur non nul dont la direction est celle de D.

Théorème :

  • Si une droite a pour équation y = mx + p, alors un vecteur directeur est u(1, m)
  • Si une droite a pour équation ax + by + c = 0, alors un vecteur directeur est u(-b, a)

Ce concept est crucial pour comprendre la relation entre les droites parallèles et leurs vecteurs directeurs. Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

Highlight : La configuration de deux droites D1 (y = m1x + p1) et D2 (y = m2x + p2) peut être déterminée en comparant leurs coefficients :

  • Parallèles si m1 = m2 et p1 ≠ p2
  • Confondues si m1 = m2 et p1 = p2
  • Sécantes si m1 ≠ m2

Ces notions sont essentielles pour résoudre des problèmes plus complexes impliquant des équations cartésiennes dans le plan ou dans l'espace.

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dans le plan muni d'un repère, toute droite (1) peut être totalement
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Résolution graphique et systèmes d'équations

La résolution graphique des systèmes d'équations est une application directe des équations cartésiennes. Elle consiste à tracer les droites associées à chaque équation du système dans un repère.

Exemple : Pour résoudre graphiquement le système {y = 2x + 1, y = -x + 4}, on trace les deux droites et on trouve leur point d'intersection.

La position relative des droites détermine la nature de la solution du système :

  • Droites sécantes : une solution unique (le point d'intersection)
  • Droites strictement parallèles : aucune solution
  • Droites confondues : une infinité de solutions

Highlight : La résolution algébrique des systèmes peut se faire par substitution ou par combinaison linéaire. La méthode de combinaison est souvent plus rapide mais peut être plus délicate.

Ces techniques de résolution sont fondamentales pour de nombreux exercices d'équation cartésienne et sont largement utilisées dans des domaines plus avancés des mathématiques et de la physique.

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L'application est très simple à utiliser et bien faite. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais :D

Lola, utilisatrice iOS

J'adore cette application ❤️ Je l'utilise presque tout le temps pour réviser.

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L'équation cartésienne d'une droite est un concept fondamental en géométrie analytique. Elle permet de définir une droite dans un plan muni d'un repère. Cette équation peut s'écrire sous deux formes principales : la forme réduite y = mx + p et la forme longue ax + by + c = 0. La compréhension de ces équations est essentielle pour tracer une droite avec une équation cartésienne et résoudre divers problèmes géométriques.

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Détermination de l'équation cartésienne d'une droite

Il existe plusieurs méthodes pour déterminer une équation cartésienne de la droite (AB) :

  1. Méthode du coefficient directeur :

    • Calculer m = (yB - yA) / (xB - xA)
    • Utiliser un point (A ou B) pour trouver p : yA = mxA + p
  2. Méthode du système d'équations :

    • Écrire un système avec les coordonnées des deux points
    • Résoudre pour trouver m et p
  3. Méthode des vecteurs colinéaires :

    • Utiliser la colinéarité des vecteurs AB et AM pour obtenir une équation cartésienne longue
    • Isoler y pour obtenir la forme réduite
  4. Méthode graphique :

    • Lire directement le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine sur le graphique

Exemple : Pour trouver l'équation cartésienne d'une droite avec deux points A(1, 2) et B(3, 6), on calcule : m = (6 - 2) / (3 - 1) = 2 Puis on utilise A : 2 = 2(1) + p, donc p = 0 L'équation est y = 2x + 0 ou simplement y = 2x

Ces méthodes permettent de résoudre efficacement des exercices d'équation cartésienne.

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Équation cartésienne et vecteur directeur

L'équation cartésienne d'une droite dans l'espace est étroitement liée à son vecteur directeur.

Définition : Un vecteur directeur d'une droite D est un vecteur non nul dont la direction est celle de D.

Théorème :

  • Si une droite a pour équation y = mx + p, alors un vecteur directeur est u(1, m)
  • Si une droite a pour équation ax + by + c = 0, alors un vecteur directeur est u(-b, a)

Ce concept est crucial pour comprendre la relation entre les droites parallèles et leurs vecteurs directeurs. Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

Highlight : La configuration de deux droites D1 (y = m1x + p1) et D2 (y = m2x + p2) peut être déterminée en comparant leurs coefficients :

  • Parallèles si m1 = m2 et p1 ≠ p2
  • Confondues si m1 = m2 et p1 = p2
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Résolution graphique et systèmes d'équations

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  • Droites sécantes : une solution unique (le point d'intersection)
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Équation cartésienne d'une droite

L'équation cartésienne d'une droite est un outil mathématique puissant pour décrire et analyser les droites dans un plan coordonné. Elle se présente sous deux formes principales :

  1. Équation cartésienne réduite : y = mx + p
  2. Équation cartésienne longue : ax + by + c = 0

où m, p, a, b, et c sont des nombres réels.

Définition : L'équation cartésienne réduite y = mx + p décrit une droite où m est le coefficient directeur et p l'ordonnée à l'origine.

Pour tracer une droite avec une équation cartésienne, il faut trouver deux points précis sur cette droite. On choisit généralement une valeur de x (ou y) et on utilise l'équation pour trouver la valeur correspondante de y (ou x).

Exemple : Pour tracer la droite d'équation y = 2x - 3, on peut choisir x = 0 et x = 1 :

  • Pour x = 0, y = 2(0) - 3 = -3
  • Pour x = 1, y = 2(1) - 3 = -1 On obtient ainsi les points (0, -3) et (1, -1) pour tracer la droite.

Le coefficient directeur m donne des informations importantes sur la droite :

  • Si m > 0, la droite est croissante
  • Si m < 0, la droite est décroissante
  • Si m = 0, la droite est constante (parallèle à l'axe des abscisses)

Highlight : L'équation y = k représente une droite parallèle à l'axe des abscisses, tandis que x = k représente une droite parallèle à l'axe des ordonnées.

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J'aime tellement cette application [...] Je recommande Knowunity à tout le monde ! !! Je suis passé de 11 à 16 grâce à elle :D

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L'application est très simple à utiliser et bien faite. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais :D

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J'adore cette application ❤️ Je l'utilise presque tout le temps pour réviser.