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Trichard Rose
31/03/2023
Maths
Fiches mathématiques seconde
L'équation cartésienne d'une droite est un concept fondamental en géométrie analytique. Elle permet de définir une droite dans un plan muni d'un repère. Cette équation peut s'écrire sous deux formes principales : la forme réduite y = mx + p et la forme longue ax + by + c = 0. La compréhension de ces équations est essentielle pour tracer une droite avec une équation cartésienne et résoudre divers problèmes géométriques.
31/03/2023
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Il existe plusieurs méthodes pour déterminer une équation cartésienne de la droite (AB) :
Méthode du coefficient directeur :
Méthode du système d'équations :
Méthode des vecteurs colinéaires :
Méthode graphique :
Exemple : Pour trouver l'équation cartésienne d'une droite avec deux points A(1, 2) et B(3, 6), on calcule : m = (6 - 2) / (3 - 1) = 2 Puis on utilise A : 2 = 2(1) + p, donc p = 0 L'équation est y = 2x + 0 ou simplement y = 2x
Ces méthodes permettent de résoudre efficacement des exercices d'équation cartésienne.
L'équation cartésienne d'une droite dans l'espace est étroitement liée à son vecteur directeur.
Définition : Un vecteur directeur d'une droite D est un vecteur non nul dont la direction est celle de D.
Théorème :
- Si une droite a pour équation y = mx + p, alors un vecteur directeur est u(1, m)
- Si une droite a pour équation ax + by + c = 0, alors un vecteur directeur est u(-b, a)
Ce concept est crucial pour comprendre la relation entre les droites parallèles et leurs vecteurs directeurs. Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
Highlight : La configuration de deux droites D1 (y = m1x + p1) et D2 (y = m2x + p2) peut être déterminée en comparant leurs coefficients :
- Parallèles si m1 = m2 et p1 ≠ p2
- Confondues si m1 = m2 et p1 = p2
- Sécantes si m1 ≠ m2
Ces notions sont essentielles pour résoudre des problèmes plus complexes impliquant des équations cartésiennes dans le plan ou dans l'espace.
La résolution graphique des systèmes d'équations est une application directe des équations cartésiennes. Elle consiste à tracer les droites associées à chaque équation du système dans un repère.
Exemple : Pour résoudre graphiquement le système {y = 2x + 1, y = -x + 4}, on trace les deux droites et on trouve leur point d'intersection.
La position relative des droites détermine la nature de la solution du système :
Highlight : La résolution algébrique des systèmes peut se faire par substitution ou par combinaison linéaire. La méthode de combinaison est souvent plus rapide mais peut être plus délicate.
Ces techniques de résolution sont fondamentales pour de nombreux exercices d'équation cartésienne et sont largement utilisées dans des domaines plus avancés des mathématiques et de la physique.
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L'équation cartésienne d'une droite est un concept fondamental en géométrie analytique. Elle permet de définir une droite dans un plan muni d'un repère. Cette équation peut s'écrire sous deux formes principales : la forme réduite y = mx + p et la forme longue ax + by + c = 0. La compréhension de ces équations est essentielle pour tracer une droite avec une équation cartésienne et résoudre divers problèmes géométriques.
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L'équation cartésienne d'une droite dans l'espace est étroitement liée à son vecteur directeur.
Définition : Un vecteur directeur d'une droite D est un vecteur non nul dont la direction est celle de D.
Théorème :
- Si une droite a pour équation y = mx + p, alors un vecteur directeur est u(1, m)
- Si une droite a pour équation ax + by + c = 0, alors un vecteur directeur est u(-b, a)
Ce concept est crucial pour comprendre la relation entre les droites parallèles et leurs vecteurs directeurs. Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
Highlight : La configuration de deux droites D1 (y = m1x + p1) et D2 (y = m2x + p2) peut être déterminée en comparant leurs coefficients :
- Parallèles si m1 = m2 et p1 ≠ p2
- Confondues si m1 = m2 et p1 = p2
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La résolution graphique des systèmes d'équations est une application directe des équations cartésiennes. Elle consiste à tracer les droites associées à chaque équation du système dans un repère.
Exemple : Pour résoudre graphiquement le système {y = 2x + 1, y = -x + 4}, on trace les deux droites et on trouve leur point d'intersection.
La position relative des droites détermine la nature de la solution du système :
Highlight : La résolution algébrique des systèmes peut se faire par substitution ou par combinaison linéaire. La méthode de combinaison est souvent plus rapide mais peut être plus délicate.
Ces techniques de résolution sont fondamentales pour de nombreux exercices d'équation cartésienne et sont largement utilisées dans des domaines plus avancés des mathématiques et de la physique.
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L'équation cartésienne d'une droite est un outil mathématique puissant pour décrire et analyser les droites dans un plan coordonné. Elle se présente sous deux formes principales :
où m, p, a, b, et c sont des nombres réels.
Définition : L'équation cartésienne réduite y = mx + p décrit une droite où m est le coefficient directeur et p l'ordonnée à l'origine.
Pour tracer une droite avec une équation cartésienne, il faut trouver deux points précis sur cette droite. On choisit généralement une valeur de x (ou y) et on utilise l'équation pour trouver la valeur correspondante de y (ou x).
Exemple : Pour tracer la droite d'équation y = 2x - 3, on peut choisir x = 0 et x = 1 :
- Pour x = 0, y = 2(0) - 3 = -3
- Pour x = 1, y = 2(1) - 3 = -1 On obtient ainsi les points (0, -3) et (1, -1) pour tracer la droite.
Le coefficient directeur m donne des informations importantes sur la droite :
Highlight : L'équation y = k représente une droite parallèle à l'axe des abscisses, tandis que x = k représente une droite parallèle à l'axe des ordonnées.
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