Polynômes de degré 3 avec terme constant

Cette section se concentre sur les polynômes de la forme g(x) = ax³ + b. Elle explique comment la courbe de cette fonction peut être obtenue à partir de celle de f(x) = ax³.

Propriété: La courbe de la fonction g(x) = ax³ + b s'obtient en effectuant une translation de vecteur bj de la courbe représentative de la fonction f(x) = ax³.

Le chapitre présente également les variations de ces fonctions selon le signe de a, illustrées par des graphiques.

Highlight: Les variations de g(x) = ax³ + b dépendent du signe de a, avec des comportements différents pour a > 0 et a < 0.

Polynômes de degré 3 admettant une forme factorisée

Cette partie traite des polynômes de degré 3 sous leur forme factorisée. Elle commence par définir cette forme et explique son importance.

Définition: Les fonctions définies sur R par f(x) = a$x - x₁$$x - x₂$$x - x₃$, où x₁, x₂ et x₃ sont des nombres réels et a ≠ 0, sont des fonctions polynômes de degré 3 sous forme factorisée.

Le chapitre établit ensuite le lien crucial entre les racines et la forme factorisée d'un polynôme de degré 3.

Propriété: Si f admet trois racines x₁, x₂, x₃ (distinctes ou confondues), alors f(x) peut s'écrire sous la forme f(x) = a$x - x₁$$x - x₂$$x - x₃$.

Des remarques importantes sont faites sur les cas où certaines racines sont confondues.

Représentation graphique et signe des polynômes de degré 3

La dernière section se concentre sur la représentation graphique et le signe des polynômes de degré 3, particulièrement ceux admettant trois racines distinctes.

Propriété: La courbe représentative d'une fonction polynôme de degré 3 admettant trois racines distinctes x₁, x₂, x₃ coupe l'axe des abscisses en trois points distincts de coordonnées (x₁; 0), (x₂; 0), (x₃; 0).

Le document se termine par un graphique illustrant le comportement de la fonction entre et au-delà de ses racines, montrant les zones où la fonction est positive ou négative.

Highlight: Le signe de la fonction change à chaque passage par une racine, alternant entre positif et négatif.

Cette section aide à visualiser et comprendre le comportement global des polynômes de degré 3, ce qui est essentiel pour la résolution de problèmes et l'analyse de ces fonctions.

Généralités sur les fonctions polynômes de degré 3

Ce chapitre introduit les concepts fondamentaux des fonctions polynômes de degré 3. Une fonction polynôme de degré 3 est définie sur R par f(x) = ax³ + bx² + cx + d, où a, b, c, d sont des réels et a ≠ 0.

Définition: Une fonction polynôme de degré 3 est toute fonction définie sur R par f(x) = ax³ + bx² + cx + d où a, b, c, d sont des réels tels que a ≠ 0.

Le chapitre aborde également des cas particuliers comme la fonction cube f(x) = x³. Il explique le calcul d'images et introduit la notion de racine cubique.

Exemple: La fonction cube f(x) = x³ est un cas particulier de fonction polynôme de degré 3 avec a = 1, b = 0, c = 0, d = 0.

La représentation graphique de ces fonctions est également discutée, notamment pour la forme f(x) = ax³.

Propriété: La courbe représentative de la fonction f définie sur R par f(x) = ax³ est une cubique qui admet l'origine du repère comme centre de symétrie.