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Intervalles et Domaines des Fonctions

Maths713Mis à jour 4 oct. 20262 pages

Fonctions et leur ensemble de définition: Guide simplifié

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nouzha margom@nouzhamargom_eftt
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Comprendre l' ensemble de définition d'une fonction, c'est savoir pour quelles valeurs de x tu peux calculer f(x) sans problème. C'est un concept super important en maths car certaines opérations sont interdites (comme diviser par zéro) !
Fonction et ensemble de définition. – page 1

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Qu'est-ce qu'un ensemble de définition ?

L'ensemble de définition d'une fonction f contient toutes les valeurs de x pour lesquelles fxx existe vraiment. En gros, ce sont les "x autorisés" !

Pour trouver cet ensemble, tu dois repérer les opérations dangereuses dans ton expression. Il y en a trois principales à surveiller : les dénominateurs (qui ne peuvent pas être zéro), les racines carrées (où ce qu'il y a dessous doit être positif), et les logarithmes (où ce qu'il y a dedans doit être strictement positif).

💡 Astuce : Commence toujours par identifier s'il y a des fractions, des racines ou des ln dans ta fonction !

Regarde ces exemples simples : pour fxx = x³ - 5x² + 6, aucun problème ! Pas de fraction, racine ou logarithme, donc l'ensemble de définition est ℝ tout entier. Pareil pour fxx = x2−x−2x² - x - 2/6 : le dénominateur 6 ne s'annule jamais, donc c'est bon sur ℝ.

Fonction et ensemble de définition. – page 2

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Exemples concrets à maîtriser

Avec fxx = x2−x2−1x² - x² - 1/x2−1x² - 1, attention au dénominateur ! Tu factorises : x² - 1 = x-1$$x+1. Il s'annule quand x = -1 ou x = 1, donc ces valeurs sont interdites. L'ensemble de définition devient ℝ - {-1; 1}.

Pour les racines carrées comme fxx = √x2−xx² - x, tu dois résoudre x² - x ≥ 0. En factorisant xx−1x-1 ≥ 0, tu obtiens x ∈ ]-∞; 0] ∪ [1; +∞[.

💡 Rappel : Pour les logarithmes, c'est encore plus strict ! Dans fxx = lnx2−xx² - x, il faut x² - x > 0 (strictement positif).

Avec la même factorisation xx−1x-1 > 0, tu obtiens cette fois x ∈ ]-∞; 0[ ∪ ]1; +∞[ (intervalles ouverts car on exclut 0 et 1 où l'expression s'annule).

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