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Fonction exponentielle Cours PDF et Exercices Corrigés

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Mélanie

23/03/2022

Maths

Fonction exponentielle

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Maths

Fonction exponentielle Cours PDF et Exercices Corrigés

La fonction exponentielle est une fonction fondamentale en mathématiques, définie sur R par f'(x) = f(x) et f(0) = 1, notée exp(x) ou e^x. Elle possède des propriétés uniques et importantes, notamment sa dérivée qui est elle-même, sa stricte positivité, et son comportement asymptotique.

• La fonction exponentielle est toujours strictement positive
• Sa dérivée est elle-même : (e^x)' = e^x
• Elle vérifie la propriété fondamentale : e^(x+y) = e^x * e^y
• Son domaine de définition est R et son image est ]0,+∞[
• Elle joue un rôle crucial dans de nombreux domaines des mathématiques et des sciences

...

23/03/2022

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SPE MATHS-1D Définition sur R: f'(x) = f(x) et f(0) = 1 se note: f(x)= exp (x) = e* Démonstrations 1 •Démontrons que f(x) ne s'annule pas: P

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Propriétés et applications de la fonction exponentielle

Cette page approfondit les propriétés de la fonction exponentielle et présente des applications pratiques, notamment dans la résolution d'équations et d'inéquations.

Propriété: Pour tout réel x, e^x > 0 et exe^x' = e^x.

Le document détaille la dérivation de fonctions impliquant l'exponentielle, comme fxx = 4x - 3e^x ou gxx = x−1x-1e^x. Ces exemples illustrent l'application de la règle de dérivation du produit et de la fonction composée.

Example: Pour fxx = 4x - 3e^x, on a f'xx = 4 - 3e^x.

La résolution d'équations et d'inéquations exponentielles est également abordée. Par exemple, la résolution de l'équation e^x2−3x^2-3 - e^−2x-2x = 0 est détaillée pas à pas.

Highlight: La résolution d'équations exponentielles nécessite souvent l'utilisation de la propriété de bijectivité de la fonction exponentielle.

Le document présente aussi l'étude complète d'une fonction de la forme fxx = x+1x+1e^x, incluant le calcul de sa dérivée, son tableau de variations et l'équation de sa tangente au point d'abscisse 0.

Definition: La tangente à une courbe en un point est la droite qui "frôle" la courbe en ce point, ayant pour coefficient directeur la valeur de la dérivée en ce point.

SPE MATHS-1D Définition sur R: f'(x) = f(x) et f(0) = 1 se note: f(x)= exp (x) = e* Démonstrations 1 •Démontrons que f(x) ne s'annule pas: P

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Fonctions de type ke^x et applications avancées

Cette dernière partie du cours se concentre sur les fonctions de la forme ke^x, où k est un nombre réel non nul, et leurs propriétés.

Définition: Une fonction de type ke^x, avec k ∈ R{0}, est une fonction de la forme fxx = ke^x.

Le document présente les caractéristiques principales de ces fonctions :

  • Elles sont dérivables sur R
  • Leur dérivée est de la forme kxe^x
  • Leur signe dépend du signe de k

Highlight: Le signe de k détermine le comportement asymptotique de la fonction ke^x : croissance vers +∞ si k > 0, décroissance vers 0 si k < 0.

Des représentations graphiques sont fournies pour illustrer le comportement de ces fonctions selon le signe de k. Ces graphiques montrent clairement comment le paramètre k affecte la forme et l'orientation de la courbe.

Example: Pour k > 0, la fonction ke^x est strictement croissante et tend vers +∞ quand x tend vers +∞.

Le document conclut en soulignant l'importance de ces fonctions dans divers domaines des mathématiques et des sciences appliquées.

Vocabulary: Le comportement asymptotique d'une fonction décrit son évolution lorsque la variable tend vers l'infini.

Cette section finale renforce la compréhension des propriétés de la fonction exponentielle et prépare les étudiants à des applications plus avancées en Terminale et dans l'enseignement supérieur.

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Stefan S., utilisateur iOS

L'application est très simple à utiliser et bien faite. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais :D

Lola, utilisatrice iOS

J'adore cette application ❤️ Je l'utilise presque tout le temps pour réviser.

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Maths

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•

12 juil. 2025

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3 pages

Fonction exponentielle Cours PDF et Exercices Corrigés

M

Mélanie

@mlanie_xuhe

La fonction exponentielleest une fonction fondamentale en mathématiques, définie sur R par f'(x) = f(x) et f(0) = 1, notée exp(x) ou e^x. Elle possède des propriétés uniques et importantes, notamment sa dérivée qui est elle-même, sa stricte positivité,... Affiche plus

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Propriétés et applications de la fonction exponentielle

Cette page approfondit les propriétés de la fonction exponentielle et présente des applications pratiques, notamment dans la résolution d'équations et d'inéquations.

Propriété: Pour tout réel x, e^x > 0 et exe^x' = e^x.

Le document détaille la dérivation de fonctions impliquant l'exponentielle, comme fxx = 4x - 3e^x ou gxx = x−1x-1e^x. Ces exemples illustrent l'application de la règle de dérivation du produit et de la fonction composée.

Example: Pour fxx = 4x - 3e^x, on a f'xx = 4 - 3e^x.

La résolution d'équations et d'inéquations exponentielles est également abordée. Par exemple, la résolution de l'équation e^x2−3x^2-3 - e^−2x-2x = 0 est détaillée pas à pas.

Highlight: La résolution d'équations exponentielles nécessite souvent l'utilisation de la propriété de bijectivité de la fonction exponentielle.

Le document présente aussi l'étude complète d'une fonction de la forme fxx = x+1x+1e^x, incluant le calcul de sa dérivée, son tableau de variations et l'équation de sa tangente au point d'abscisse 0.

Definition: La tangente à une courbe en un point est la droite qui "frôle" la courbe en ce point, ayant pour coefficient directeur la valeur de la dérivée en ce point.

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Fonctions de type ke^x et applications avancées

Cette dernière partie du cours se concentre sur les fonctions de la forme ke^x, où k est un nombre réel non nul, et leurs propriétés.

Définition: Une fonction de type ke^x, avec k ∈ R{0}, est une fonction de la forme fxx = ke^x.

Le document présente les caractéristiques principales de ces fonctions :

  • Elles sont dérivables sur R
  • Leur dérivée est de la forme kxe^x
  • Leur signe dépend du signe de k

Highlight: Le signe de k détermine le comportement asymptotique de la fonction ke^x : croissance vers +∞ si k > 0, décroissance vers 0 si k < 0.

Des représentations graphiques sont fournies pour illustrer le comportement de ces fonctions selon le signe de k. Ces graphiques montrent clairement comment le paramètre k affecte la forme et l'orientation de la courbe.

Example: Pour k > 0, la fonction ke^x est strictement croissante et tend vers +∞ quand x tend vers +∞.

Le document conclut en soulignant l'importance de ces fonctions dans divers domaines des mathématiques et des sciences appliquées.

Vocabulary: Le comportement asymptotique d'une fonction décrit son évolution lorsque la variable tend vers l'infini.

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Définition et démonstrations de la fonction exponentielle

La fonction exponentielle est définie sur R par deux conditions : f'xx = fxx et f00 = 1. Elle est notée expxx ou e^x. Cette définition est suivie de deux démonstrations importantes.

Définition: La fonction exponentielle est la fonction f définie sur R telle que f'xx = fxx et f00 = 1.

La première démonstration prouve que la fonction exponentielle ne s'annule jamais. Elle utilise une fonction auxiliaire hxx = fxx * f−x-x et montre que hxx est constante et égale à 1, ce qui implique que fxx ≠ 0 pour tout x réel.

Highlight: La démonstration de la non-nullité de la fonction exponentielle est cruciale pour comprendre ses propriétés fondamentales.

La deuxième démonstration établit la propriété fondamentale de l'exponentielle : e^x+yx+y = e^x * e^y. Cette propriété est essentielle pour de nombreuses applications de la fonction exponentielle.

Example: La propriété e^x+yx+y = e^x * e^y permet de simplifier des calculs comme e^3 * e^2 = e^5.

Le document présente également un tableau de variations de la fonction exponentielle, montrant sa croissance stricte sur R, ainsi qu'une représentation graphique.

Vocabulary: Le domaine de définition de la fonction exponentielle est R, et son ensemble image est ]0,+∞[.

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L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

utilisatrice Android

Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

utilisateur Android

PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

utilisatrice d'Android

Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

utilisatrice iOS

C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

utilisateur IOS

Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

utilisatrice iOS

L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

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Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

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super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

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Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

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L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

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Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

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PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

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Raoul

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Ella

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