I. Définition de la fonction exponentielle
La fonction exponentielle, notée exp, est définie comme l'unique fonction f dérivable sur R telle que f'=f et f(0)=1. Ainsi, pour tout réel x, exp'(x) = exp(x) et exp(0) = 1.
Définition: La fonction exponentielle est l'unique fonction f définie et dérivable sur R telle que f'=f et f(0) = 1.
Cette définition fondamentale établit les bases pour comprendre le comportement et les propriétés de la fonction exponentielle.
II. Propriété fondamentale et conséquences
A) Propriété fondamentale
La propriété fondamentale de la fonction exponentielle est que pour tout réel a et b : exp(a+b) = exp(a) × exp(b). Cette propriété montre que la fonction exponentielle transforme une somme en un produit.
Highlight: La propriété fondamentale exp(a+b) = exp(a) × exp(b) est essentielle pour comprendre le comportement de la fonction exponentielle.
B) Conséquences
De cette propriété fondamentale découlent plusieurs conséquences importantes :
- exp(-a) = 1 / exp(a)
- exp(a-b) = exp(a) / exp(b)
- Pour tout entier relatif n : (exp(a))ⁿ = exp(na)
Ces propriétés sont illustrées par des exercices pratiques, comme la simplification d'expressions exponentielles.
Exemple: Simplifier A = exp(4x) × exp(-2x+1) en utilisant les propriétés de l'exponentielle.
C) Nouvelle notation
On introduit la notation e = exp(1), ce qui permet d'écrire exp(x) = eˣ pour tout réel x. Cette notation simplifie l'écriture et l'utilisation des propriétés de l'exponentielle.
Vocabulaire: e est défini comme exp(1) et est une constante mathématique fondamentale.
D) Propriété des suites géométriques
Pour tout réel a, la suite (uₙ) de terme général eⁿᵃ est une suite géométrique de premier terme u₀ = 1 et de raison eᵃ.
E) Modélisation par croissance ou décroissance exponentielle
La fonction exponentielle permet de modéliser de façon continue des phénomènes de croissance ou décroissance liés aux suites géométriques.
Exemple: Modélisation de la masse d'une quantité qui double tous les mois à partir de 1kg.
