Ouvrir l'appli

Matières

1 151

24 janv. 2022

5 pages

Fonction Exponentielle Cours PDF et Exercices Corrigés pour la Terminale

A

Adam S.

@adam_sie

La fonction exponentielle est un concept mathématique fondamental qui transforme... Affiche plus

I Définition
Propriété et définition :
Il existe une unique fonction f définie et dérivable sur R telle que f'=fet f(0) = 1.
Cette fonction

III. Étude de la fonction exponentielle

A) Sens de variation

La fonction exponentielle est strictement croissante sur R car sa dérivée est toujours positive.

Théorème: La fonction exponentielle est strictement croissante sur R.

Cette propriété est fondamentale pour comprendre le comportement de la fonction exponentielle et ses applications.

B) Limites

Les limites de la fonction exponentielle sont essentielles pour comprendre son comportement asymptotique :

  • limxx→-∞ eˣ = 0
  • limx+x→+∞ eˣ = +∞

Highlight: La croissance de la fonction exponentielle est plus rapide que toute fonction polynomiale.

IV. Étude de la fonction f(x) = e^(kx) avec k réel

Cette partie examine le comportement de la fonction exponentielle avec un coefficient k dans l'exposant. La dérivée de cette fonction est f'xx = ke^kxkx, ce qui détermine son sens de variation selon le signe de k.

Exemple: Si k > 0, f est strictement croissante sur R. Si k < 0, f est strictement décroissante sur R.

I Définition
Propriété et définition :
Il existe une unique fonction f définie et dérivable sur R telle que f'=fet f(0) = 1.
Cette fonction

Exercices d'application

Le cours se termine par une série d'exercices pratiques pour appliquer les concepts étudiés :

  1. Étude d'une fonction composée avec l'exponentielle
  2. Modélisation de la concentration d'un médicament dans le sang
  3. Modélisation du taux d'équipement des ménages français à Internet

Ces exercices permettent de mettre en pratique les propriétés de la fonction exponentielle dans des contextes variés, renforçant la compréhension des concepts théoriques.

Exemple: Modélisation de la concentration d'un médicament par ftt = 1+21+2e^0,5t-0,5t, où t représente le temps écoulé en heures.

Ces exercices illustrent l'importance de la fonction exponentielle dans la modélisation de phénomènes réels et son utilité dans divers domaines scientifiques et économiques.

I Définition
Propriété et définition :
Il existe une unique fonction f définie et dérivable sur R telle que f'=fet f(0) = 1.
Cette fonction

Applications et Exercices

Cette section présente des exercices pratiques utilisant la fonction exponentielle dans divers contextes, notamment la modélisation exponentielle de phénomènes réels.

Example: La concentration d'un médicament dans le sang peut être modélisée par ftt = 1+21+2e^0,5t-0,5t.

Highlight: La modélisation du taux d'équipement Internet utilise une fonction de la forme fxx = 90/1+1,8e(0,27x1+1,8e^(-0,27x).

I Définition
Propriété et définition :
Il existe une unique fonction f définie et dérivable sur R telle que f'=fet f(0) = 1.
Cette fonction

Exercices Complémentaires

La dernière partie propose des exercices supplémentaires pour approfondir la compréhension de la fonction exponentielle et ses applications.

Highlight: Les exercices couvrent différents aspects de la fonction exponentielle, de l'étude des variations aux applications pratiques.

Example: L'étude de fxx = e^2x2x - 2x combine les propriétés de la fonction exponentielle avec l'analyse des variations.

I Définition
Propriété et définition :
Il existe une unique fonction f définie et dérivable sur R telle que f'=fet f(0) = 1.
Cette fonction

I. Définition de la fonction exponentielle

La fonction exponentielle, notée exp, est définie comme l'unique fonction f dérivable sur R telle que f'=f et f00=1. Ainsi, pour tout réel x, exp'xx = expxx et exp00 = 1.

Définition: La fonction exponentielle est l'unique fonction f définie et dérivable sur R telle que f'=f et f00 = 1.

Cette définition fondamentale établit les bases pour comprendre le comportement et les propriétés de la fonction exponentielle.

II. Propriété fondamentale et conséquences

A) Propriété fondamentale

La propriété fondamentale de la fonction exponentielle est que pour tout réel a et b : expa+ba+b = expaa × expbb. Cette propriété montre que la fonction exponentielle transforme une somme en un produit.

Highlight: La propriété fondamentale expa+ba+b = expaa × expbb est essentielle pour comprendre le comportement de la fonction exponentielle.

B) Conséquences

De cette propriété fondamentale découlent plusieurs conséquences importantes :

  • expa-a = 1 / expaa
  • expaba-b = expaa / expbb
  • Pour tout entier relatif n : exp(aexp(a)ⁿ = expnana

Ces propriétés sont illustrées par des exercices pratiques, comme la simplification d'expressions exponentielles.

Exemple: Simplifier A = exp4x4x × exp2x+1-2x+1 en utilisant les propriétés de l'exponentielle.

C) Nouvelle notation

On introduit la notation e = exp11, ce qui permet d'écrire expxx = eˣ pour tout réel x. Cette notation simplifie l'écriture et l'utilisation des propriétés de l'exponentielle.

Vocabulaire: e est défini comme exp11 et est une constante mathématique fondamentale.

D) Propriété des suites géométriques

Pour tout réel a, la suite unuₙ de terme général eⁿᵃ est une suite géométrique de premier terme u₀ = 1 et de raison eᵃ.

E) Modélisation par croissance ou décroissance exponentielle

La fonction exponentielle permet de modéliser de façon continue des phénomènes de croissance ou décroissance liés aux suites géométriques.

Exemple: Modélisation de la masse d'une quantité qui double tous les mois à partir de 1kg.



Rien ne te convient ? Explore d'autres matières.

Les étudiants nous adorent — il ne manque plus que toi.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

utilisatrice Android

Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

utilisateur Android

PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

utilisatrice d'Android

Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

utilisatrice iOS

C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

utilisateur IOS

Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

utilisatrice iOS

L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

utilisatrice Android

Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

utilisateur Android

PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

utilisatrice d'Android

Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

utilisatrice iOS

C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

utilisateur IOS

Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

utilisatrice iOS

 

Maths

1 151

24 janv. 2022

5 pages

Fonction Exponentielle Cours PDF et Exercices Corrigés pour la Terminale

A

Adam S.

@adam_sie

La fonction exponentielle est un concept mathématique fondamental qui transforme une somme en produit et possède des propriétés uniques de croissance. Cette fonction, notée exp ou e^x, est essentielle pour modéliser la croissance exponentielle dans divers domaines.

• La... Affiche plus

I Définition
Propriété et définition :
Il existe une unique fonction f définie et dérivable sur R telle que f'=fet f(0) = 1.
Cette fonction

Inscris-toi pour voir le contenuC'est gratuit!

Accès à tous les documents

Améliore tes notes

Rejoins des millions d'étudiants

En t'inscrivant, tu acceptes les Conditions d'utilisation et la Politique de confidentialité.

III. Étude de la fonction exponentielle

A) Sens de variation

La fonction exponentielle est strictement croissante sur R car sa dérivée est toujours positive.

Théorème: La fonction exponentielle est strictement croissante sur R.

Cette propriété est fondamentale pour comprendre le comportement de la fonction exponentielle et ses applications.

B) Limites

Les limites de la fonction exponentielle sont essentielles pour comprendre son comportement asymptotique :

  • limxx→-∞ eˣ = 0
  • limx+x→+∞ eˣ = +∞

Highlight: La croissance de la fonction exponentielle est plus rapide que toute fonction polynomiale.

IV. Étude de la fonction f(x) = e^(kx) avec k réel

Cette partie examine le comportement de la fonction exponentielle avec un coefficient k dans l'exposant. La dérivée de cette fonction est f'xx = ke^kxkx, ce qui détermine son sens de variation selon le signe de k.

Exemple: Si k > 0, f est strictement croissante sur R. Si k < 0, f est strictement décroissante sur R.

I Définition
Propriété et définition :
Il existe une unique fonction f définie et dérivable sur R telle que f'=fet f(0) = 1.
Cette fonction

Inscris-toi pour voir le contenuC'est gratuit!

Accès à tous les documents

Améliore tes notes

Rejoins des millions d'étudiants

En t'inscrivant, tu acceptes les Conditions d'utilisation et la Politique de confidentialité.

Exercices d'application

Le cours se termine par une série d'exercices pratiques pour appliquer les concepts étudiés :

  1. Étude d'une fonction composée avec l'exponentielle
  2. Modélisation de la concentration d'un médicament dans le sang
  3. Modélisation du taux d'équipement des ménages français à Internet

Ces exercices permettent de mettre en pratique les propriétés de la fonction exponentielle dans des contextes variés, renforçant la compréhension des concepts théoriques.

Exemple: Modélisation de la concentration d'un médicament par ftt = 1+21+2e^0,5t-0,5t, où t représente le temps écoulé en heures.

Ces exercices illustrent l'importance de la fonction exponentielle dans la modélisation de phénomènes réels et son utilité dans divers domaines scientifiques et économiques.

I Définition
Propriété et définition :
Il existe une unique fonction f définie et dérivable sur R telle que f'=fet f(0) = 1.
Cette fonction

Inscris-toi pour voir le contenuC'est gratuit!

Accès à tous les documents

Améliore tes notes

Rejoins des millions d'étudiants

En t'inscrivant, tu acceptes les Conditions d'utilisation et la Politique de confidentialité.

Applications et Exercices

Cette section présente des exercices pratiques utilisant la fonction exponentielle dans divers contextes, notamment la modélisation exponentielle de phénomènes réels.

Example: La concentration d'un médicament dans le sang peut être modélisée par ftt = 1+21+2e^0,5t-0,5t.

Highlight: La modélisation du taux d'équipement Internet utilise une fonction de la forme fxx = 90/1+1,8e(0,27x1+1,8e^(-0,27x).

I Définition
Propriété et définition :
Il existe une unique fonction f définie et dérivable sur R telle que f'=fet f(0) = 1.
Cette fonction

Inscris-toi pour voir le contenuC'est gratuit!

Accès à tous les documents

Améliore tes notes

Rejoins des millions d'étudiants

En t'inscrivant, tu acceptes les Conditions d'utilisation et la Politique de confidentialité.

Exercices Complémentaires

La dernière partie propose des exercices supplémentaires pour approfondir la compréhension de la fonction exponentielle et ses applications.

Highlight: Les exercices couvrent différents aspects de la fonction exponentielle, de l'étude des variations aux applications pratiques.

Example: L'étude de fxx = e^2x2x - 2x combine les propriétés de la fonction exponentielle avec l'analyse des variations.

I Définition
Propriété et définition :
Il existe une unique fonction f définie et dérivable sur R telle que f'=fet f(0) = 1.
Cette fonction

Inscris-toi pour voir le contenuC'est gratuit!

Accès à tous les documents

Améliore tes notes

Rejoins des millions d'étudiants

En t'inscrivant, tu acceptes les Conditions d'utilisation et la Politique de confidentialité.

I. Définition de la fonction exponentielle

La fonction exponentielle, notée exp, est définie comme l'unique fonction f dérivable sur R telle que f'=f et f00=1. Ainsi, pour tout réel x, exp'xx = expxx et exp00 = 1.

Définition: La fonction exponentielle est l'unique fonction f définie et dérivable sur R telle que f'=f et f00 = 1.

Cette définition fondamentale établit les bases pour comprendre le comportement et les propriétés de la fonction exponentielle.

II. Propriété fondamentale et conséquences

A) Propriété fondamentale

La propriété fondamentale de la fonction exponentielle est que pour tout réel a et b : expa+ba+b = expaa × expbb. Cette propriété montre que la fonction exponentielle transforme une somme en un produit.

Highlight: La propriété fondamentale expa+ba+b = expaa × expbb est essentielle pour comprendre le comportement de la fonction exponentielle.

B) Conséquences

De cette propriété fondamentale découlent plusieurs conséquences importantes :

  • expa-a = 1 / expaa
  • expaba-b = expaa / expbb
  • Pour tout entier relatif n : exp(aexp(a)ⁿ = expnana

Ces propriétés sont illustrées par des exercices pratiques, comme la simplification d'expressions exponentielles.

Exemple: Simplifier A = exp4x4x × exp2x+1-2x+1 en utilisant les propriétés de l'exponentielle.

C) Nouvelle notation

On introduit la notation e = exp11, ce qui permet d'écrire expxx = eˣ pour tout réel x. Cette notation simplifie l'écriture et l'utilisation des propriétés de l'exponentielle.

Vocabulaire: e est défini comme exp11 et est une constante mathématique fondamentale.

D) Propriété des suites géométriques

Pour tout réel a, la suite unuₙ de terme général eⁿᵃ est une suite géométrique de premier terme u₀ = 1 et de raison eᵃ.

E) Modélisation par croissance ou décroissance exponentielle

La fonction exponentielle permet de modéliser de façon continue des phénomènes de croissance ou décroissance liés aux suites géométriques.

Exemple: Modélisation de la masse d'une quantité qui double tous les mois à partir de 1kg.

Rien ne te convient ? Explore d'autres matières.

Les étudiants nous adorent — il ne manque plus que toi.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

utilisatrice Android

Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

utilisateur Android

PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

utilisatrice d'Android

Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

utilisatrice iOS

C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

utilisateur IOS

Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

utilisatrice iOS

L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

utilisatrice Android

Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

utilisateur Android

PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

utilisatrice d'Android

Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

utilisatrice iOS

C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

utilisateur IOS

Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

utilisatrice iOS