II. Propriétés avancées et applications du logarithme décimal

Les propriétés du logarithme décimal permettent de simplifier considérablement certaines expressions mathématiques. Voici quelques règles importantes :

• log(a × b) = log(a) + log(b) • log$a / b$ = log(a) - log(b) • log$a^n$ = n × log(a) • log$1/a$ = -log(a)

Exemple: Simplification de 2log(3) + log(2) - 4log(5) = log$3^2$ + log(2) - log$5^4$ = log(9) + log(2) - log(625) = log(18) - log(625) = log(18/625) ≈ -1,54

Ces propriétés sont essentielles pour résoudre des exercices de logarithme décimal STMG corrigés et comprendre les cours de logarithme décimal PDF.

La résolution d'équations et d'inéquations logarithmiques repose sur ces propriétés. Par exemple :

Exemple: Résoudre dans R l'équation log(x) = log(2) Solution : x = 2 car log(a) = log(b) si et seulement si a = b

Highlight: Pour tous nombres réels strictement positifs a et b : log(a) = log(b) ⇔ a = b log(a) < log(b) ⇔ a < b

Ces concepts sont cruciaux pour maîtriser les exercices corrigés de logarithme décimal et réussir les QCM de logarithme décimal en Terminale STMG.

I. Définition et propriétés du logarithme décimal

Le logarithme décimal d'un réel strictement positif b, noté log(b), est défini comme l'unique solution de l'équation 10^x = b. Cette fonction mathématique fondamentale possède plusieurs propriétés essentielles.

Définition: Le logarithme décimal de b est l'exposant auquel il faut élever 10 pour obtenir b.

Parmi les propriétés importantes, on peut citer :

a) Pour b > 0 : 10^log(b) = b b) log$10^x$ = x c) 10^x = b équivaut à x = log(b)

Exemple: log(100) = 2 car 10^2 = 100

La fonction logarithme décimal est strictement croissante sur ]0;+∞[. Elle est positive pour x > 1 et négative pour 0 < x < 1.

Highlight: Valeurs particulières à retenir : log(1) = 0 et log(10) = 1

Ces propriétés font du logarithme décimal un outil puissant pour simplifier des calculs complexes, notamment dans les exercices de logarithme STMG et les équations logarithmiques.