Fonction polynôme de degré 2 : formule, sommet et racines

Forme développée et factorisée

Les deux écritures clés

• Forme développée : s'écrit $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$.
• Forme factorisée : s'écrit $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ si elle a deux racines.
• Racines : les valeurs $x_1$ et $x_2$ qui annulent la fonction.

💡 Astuce : Le coefficient $a$ est le même dans toutes les formes de la fonction.

Somme, produit et forme canonique

Somme et produit des racines

• Somme : $S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$.
• Produit : $P = x_1 \times x_2 = \frac{c}{a}$.

Forme canonique

• Formule : $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$.
• Coordonnées : $\alpha = -\frac{b}{2a}$ et $\beta = f(\alpha)$.

Exemple : Pour $f(x) = x^2 - 4x + 3$ : $\alpha = -\frac{-4}{2(1)} = 2$ et $\beta = f(2) = -1$.

💡 Attention : Ne confonds pas le signe de $\alpha$ dans sa formule et dans la forme canonique $(x - \alpha)$.

Variations et résolution d'équations

Variations et sommet

• Sommet : la parabole a pour sommet $S(\alpha ; \beta)$.
• Sens de variation : si $a > 0$, elle est orientée vers le haut ; si $a < 0$, vers le bas.

Résolution de $ax^2+bx+c=0$

• Discriminant : $\Delta = b^2 - 4ac$.
• $\Delta > 0$ : deux solutions $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.
• $\Delta = 0$ : une solution $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Si $\Delta < 0$, aucune solution réelle.

💡 Astuce : Si $\Delta < 0$, l'équation n'a pas de solution, mais la fonction existe toujours.