Variations des polynômes du second degré

Cette page se concentre sur les propriétés de variation des fonctions polynômes du second degré. Les variations dépendent du signe du coefficient a dans l'expression f$x$ = ax² + bx + c.

Pour a > 0 $positif$ :

• La fonction est décroissante sur ]-∞, α] puis croissante sur [α, +∞[
• La parabole est ouverte vers le haut

Pour a < 0 $négatif$ :

• La fonction est croissante sur ]-∞, α] puis décroissante sur [α, +∞[
• La parabole est ouverte vers le bas

Highlight: Le point α, où la fonction change de sens de variation, correspond au sommet de la parabole.

Ces propriétés sont illustrées par des tableaux de variation et des représentations graphiques pour chaque cas.

Vocabulary: Le sommet de la parabole est le point où la fonction atteint son extremum $minimum si a > 0, maximum si a < 0$.

La compréhension de ces variations est essentielle pour l'étude complète des polynômes du second degré et la résolution d'équations du second degré.

Racines et représentation graphique des polynômes du second degré

Cette section aborde la représentation graphique des polynômes du second degré et le concept de racines.

Définition: Dans un repère $O, I, J$, la courbe représentative d'une fonction polynôme du second degré est une parabole de sommet S$α, β$ et d'axe de symétrie la droite verticale d'équation x = α.

Caractéristiques importantes :

• Si a > 0, la parabole est ouverte vers le haut
• Si a < 0, la parabole est ouverte vers le bas

Remarque: Lorsqu'on connaît deux points de même ordonnée de la parabole, l'abscisse du sommet se trouve au milieu des abscisses de ces deux points.

Définition: On appelle racine d'une fonction polynôme les solutions éventuelles de l'équation f$x$ = 0.

Propriété: Les racines d'une fonction polynôme du second degré sont les abscisses des points d'intersection de sa parabole représentative avec l'axe des abscisses.

Cette page fournit une base solide pour comprendre la relation entre l'expression algébrique d'un polynôme du second degré et sa représentation graphique, essentielle pour résoudre des équations du second degré graphiquement.

Résolution des équations du second degré

Cette page se concentre sur la résolution des équations du second degré de la forme ax² + bx + c = 0.

Propriété: Le signe du discriminant Δ = b² - 4ac nous informe sur le nombre de solutions de l'équation ax² + bx + c = 0.

Trois cas sont possibles :

1. Δ > 0 : deux solutions réelles distinctes
2. Δ = 0 : une solution réelle double
3. Δ < 0 : aucune solution réelle

La méthode de résolution utilise la forme canonique du polynôme :

f$x$ = a$x - α$² + β, où α = -b/$2a$ et β = -Δ/$4a$

Formule: Les solutions de l'équation ax² + bx + c = 0 sont données par x = $-b ± √Δ$ / $2a$

Cette page fournit les outils nécessaires pour résoudre algébriquement toute équation du second degré, une compétence fondamentale en mathématiques.

Cas particuliers de résolution des équations du second degré

Cette dernière page détaille les trois cas de résolution des équations du second degré en fonction du signe du discriminant Δ.

1. Cas Δ > 0 : L'équation f$x$ = 0 a deux solutions distinctes : x₁ = $-b - √Δ$ / $2a$ et x₂ = $-b + √Δ$ / $2a$ La factorisation du polynôme s'écrit : f$x$ = a$x - x₁$$x - x₂$
2. Cas Δ = 0 : L'équation f$x$ = 0 a une solution double : x₀ = -b / $2a$ La factorisation s'écrit : f$x$ = a$x - x₀$²
3. Cas Δ < 0 : L'équation f$x$ = 0 n'a aucune solution réelle.

Vocabulary:

• Fonction : relation mathématique entre deux ensembles
• Courbe : représentation graphique d'une fonction
• Sommet : point où la fonction atteint son extremum
• Racines : points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses

Cette page conclut l'étude des polynômes du second degré en fournissant une méthode systématique pour résoudre les équations du second degré dans tous les cas possibles.

Page 6: Special Cases and Vocabulary

The final page covers special cases and essential terminology for polynôme du second degré pdf.

Vocabulary:

• Function $Fonction$
• Curve $Courbe$
• Vertex $Sommet$
• Increasing/Decreasing $Croissante/Décroissante$
• Intersection points $Points d'intersection$

Highlight: Special attention is given to cases where Δ = 0 and Δ < 0, with corresponding factored forms and solutions.

Formules des polynômes du second degré

Les polynômes du second degré sont des fonctions mathématiques fondamentales en algèbre. Cette page présente les différentes formes d'expression de ces polynômes.

Une fonction polynôme du second degré est définie sur l'ensemble des réels et peut s'écrire sous la forme générale f$x$ = ax² + bx + c, où a, b et c sont des nombres réels et a ≠ 0.

Définition: Un polynôme du second degré est une fonction f définie sur ℝ pouvant s'écrire sous la forme f$x$ = ax² + bx + c, avec a, b, c réels et a ≠ 0.

Trois formes principales sont présentées :

1. Forme développée : f$x$ = ax² + bx + c
2. Forme factorisée : f$x$ = a$x - α$$x - β$, où α et β sont les racines du polynôme
3. Forme canonique : f$x$ = a$x - α$² + β, où α est l'abscisse du sommet et β son ordonnée

Exemple: f$x$ = x² + x - 2 peut s'écrire sous forme factorisée comme f$x$ = $x + 2$$x - 1$

La page introduit également le discriminant Δ = b² - 4ac, crucial pour déterminer le nombre et la nature des racines du polynôme.

Highlight: La forme canonique f$x$ = a$x - α$² + β est particulièrement utile pour étudier les variations de la fonction et déterminer son sommet.