Racines et représentation graphique des polynômes du second degré

Cette section aborde la représentation graphique des polynômes du second degré et le concept de racines.

Définition: Dans un repère (O, I, J), la courbe représentative d'une fonction polynôme du second degré est une parabole de sommet S(α, β) et d'axe de symétrie la droite verticale d'équation x = α.

Caractéristiques importantes :

• Si a > 0, la parabole est ouverte vers le haut
• Si a < 0, la parabole est ouverte vers le bas

Remarque: Lorsqu'on connaît deux points de même ordonnée de la parabole, l'abscisse du sommet se trouve au milieu des abscisses de ces deux points.

Définition: On appelle racine d'une fonction polynôme les solutions éventuelles de l'équation f(x) = 0.

Propriété: Les racines d'une fonction polynôme du second degré sont les abscisses des points d'intersection de sa parabole représentative avec l'axe des abscisses.

Cette page fournit une base solide pour comprendre la relation entre l'expression algébrique d'un polynôme du second degré et sa représentation graphique, essentielle pour résoudre des équations du second degré graphiquement.

Formules des polynômes du second degré

Les polynômes du second degré sont des fonctions mathématiques fondamentales en algèbre. Cette page présente les différentes formes d'expression de ces polynômes.

Une fonction polynôme du second degré est définie sur l'ensemble des réels et peut s'écrire sous la forme générale f(x) = ax² + bx + c, où a, b et c sont des nombres réels et a ≠ 0.

Définition: Un polynôme du second degré est une fonction f définie sur ℝ pouvant s'écrire sous la forme f(x) = ax² + bx + c, avec a, b, c réels et a ≠ 0.

Trois formes principales sont présentées :

1. Forme développée : f(x) = ax² + bx + c
2. Forme factorisée : f(x) = a(x - α)(x - β), où α et β sont les racines du polynôme
3. Forme canonique : f(x) = a(x - α)² + β, où α est l'abscisse du sommet et β son ordonnée

Exemple: f(x) = x² + x - 2 peut s'écrire sous forme factorisée comme f(x) = (x + 2)(x - 1)

La page introduit également le discriminant Δ = b² - 4ac, crucial pour déterminer le nombre et la nature des racines du polynôme.

Highlight: La forme canonique f(x) = a(x - α)² + β est particulièrement utile pour étudier les variations de la fonction et déterminer son sommet.