Résolution détaillée du problème économique

Cette page présente la résolution pas à pas de l'exercice sur les polynômes du second degré appliqués à la production de fours micro-ondes.

La première étape consiste à exprimer la fonction de recette R$x$ en fonction du nombre de fours vendus. Étant donné que chaque four est vendu 79 euros, on obtient :

R$x$ = 79x

Vocabulaire: La recette représente le revenu total généré par la vente des produits.

Ensuite, on détermine la fonction de bénéfice B$x$ en soustrayant la fonction de coût C$x$ de la fonction de recette R$x$ :

B$x$ = R$x$ - C$x$ = 79x - $0,06x² + 43x + 2754$ = -0,06x² + 36x - 2754

Exemple: La fonction de bénéfice B$x$ = -0,06x² + 36x - 2754 est un polynôme du second degré qui modélise le bénéfice en fonction du nombre de fours produits et vendus.

L'exercice demande ensuite de résoudre l'équation B$x$ = 2430, ce qui revient à résoudre l'équation du second degré :

-0,06x² + 36x - 5184 = 0

Cette équation est résolue en utilisant la formule du discriminant, démontrant l'application pratique des techniques de résolution des équations du second degré.

Analyse des variations et optimisation du bénéfice

Cette section de l'exercice se concentre sur l'analyse des variations de la fonction bénéfice B$x$ et la détermination du nombre optimal de fours à produire pour maximiser le bénéfice.

Pour déterminer les valeurs de x pour lesquelles l'entreprise réalise un bénéfice, on résout l'inéquation :

B$x$ > 0, soit -0,06x² + 36x - 2754 > 0

Highlight: La résolution de cette inéquation du second degré permet de déterminer l'intervalle de production rentable pour l'entreprise.

Le tableau de variation de la fonction B est ensuite dressé, ce qui implique de :

1. Calculer le coefficient directeur de la parabole $a = -0,06 < 0$.
2. Déterminer le sommet de la parabole en utilisant la forme canonique du polynôme du second degré.

Vocabulaire: La forme canonique d'un polynôme du second degré ax² + bx + c s'écrit a$x - α$² + β, où $α, β$ sont les coordonnées du sommet de la parabole.

À partir du tableau de variation, on peut déduire le nombre de fours à produire pour maximiser le bénéfice. Ce point correspond au sommet de la parabole représentant la fonction B$x$.

Example: Si le sommet de la parabole a pour abscisse x = 300, cela signifie que la production de 300 fours par jour maximise le bénéfice de l'entreprise.

Cette analyse démontre l'utilité des polynômes du second degré et de leurs propriétés dans la résolution de problèmes d'optimisation économique.

Conclusion et applications pratiques

L'exercice se conclut en soulignant l'importance des polynômes du second degré dans la modélisation et l'analyse de situations économiques réelles. Les étudiants ont appris à :

1. Modéliser des fonctions de coût, de recette et de bénéfice à l'aide de polynômes du second degré.
2. Résoudre des équations et inéquations du second degré pour trouver des points d'équilibre et des intervalles de rentabilité.
3. Analyser les variations d'une fonction polynomiale du second degré pour optimiser un résultat économique.

Quote: "L'étude des polynômes du second degré offre des outils puissants pour l'analyse et l'optimisation dans de nombreux domaines, notamment en économie et en gestion d'entreprise."

Ces compétences sont essentielles non seulement pour réussir les examens de mathématiques, mais aussi pour appliquer ces concepts dans des situations professionnelles réelles.

Highlight: La maîtrise des techniques liées aux polynômes du second degré constitue une base solide pour des études plus avancées en mathématiques appliquées et en économie.

L'exercice démontre comment les concepts mathématiques abstraits, tels que les polynômes du second degré, peuvent être appliqués pour résoudre des problèmes concrets et prendre des décisions éclairées dans le monde des affaires.

Page 5: Problem-Solving Process

Details the solution process for the business problem using Polynôme second degré formule.

Vocabulary: Bénéfice $profit$ = Revenue - Costs

Example: Revenue function R$x$ = 79x demonstrates linear relationship with quantity

Page 6: Final Analysis

Concludes the business problem solution with profit optimization using tableau de variation d'une fonction polynome du second degré.

Highlight: The solution demonstrates how to find optimal production quantity for maximum profit

Example: Profit function B$x$ = -0.06x² + 36x - 2754 shows quadratic relationship

Analyse des polynômes du second degré dans un contexte économique

Ce document présente un exercice détaillé sur l'application des polynômes du second degré à un problème économique concret. Il s'agit d'analyser la production et la vente de fours micro-ondes par une entreprise.

Définition: Un polynôme du second degré est une expression algébrique de la forme ax² + bx + c, où a, b et c sont des constantes et a ≠ 0.

L'exercice commence par définir les paramètres du problème :

• La production maximale est de 300 fours par jour.
• Le coût total de fabrication est modélisé par la fonction C$x$ = 0,06x² + 43x + 2754.
• Chaque four est vendu 79 euros.

Exemple: La fonction de coût C$x$ = 0,06x² + 43x + 2754 est un polynôme du second degré qui représente le coût total de production en fonction du nombre de fours fabriqués.

Les étudiants sont guidés à travers plusieurs étapes d'analyse :

1. Expression de la fonction de recette R$x$.
2. Détermination de la fonction de bénéfice B$x$.
3. Résolution d'équations du second degré pour trouver les points d'équilibre.
4. Analyse des variations de la fonction bénéfice.

Highlight: La résolution de ce problème nécessite une compréhension approfondie des propriétés des polynômes du second degré et de leurs applications pratiques.