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Apprends la Continuité d'une Fonction avec des Exercices Simples

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Mr.Duron

26/05/2022

Maths

Fonctions continues

Apprends la Continuité d'une Fonction avec des Exercices Simples

La continuité d'une fonction est un concept fondamental en analyse mathématique. Une fonction est continue sur un intervalle si sa courbe peut être tracée sans lever le crayon. Ce résumé explore les définitions, propriétés et théorèmes liés à la continuité, notamment le Théorème des valeurs intermédiaires et ses applications. Il aborde également la continuité des fonctions dérivables, les propriétés des fonctions continues courantes, et l'impact de la continuité sur les suites convergentes.

• La continuité en un point et sur un intervalle est définie mathématiquement.
• Les fonctions dérivables sont toujours continues, mais l'inverse n'est pas vrai.
• Le Théorème des valeurs intermédiaires est un outil puissant pour résoudre des équations.
• La continuité a des implications importantes pour les limites de suites et les relations de récurrence.

...

26/05/2022

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Continuité en un point, sur un intervalle :
Définitions :
Pour toute fonction ƒ définie sur un intervalle I :
▪ On dit que f est continue en

Voir

Propriétés et théorème des valeurs intermédiaires

Cette page approfondit les propriétés des fonctions continues et introduit le Théorème des valeurs intermédiaires, un outil puissant en analyse mathématique.

Highlight: Les fonctions polynômes, trigonométriques, exponentielles, et racine carrée sont continues sur leur domaine de définition. De plus, les opérations arithmétiques et la composition préservent la continuité.

Le Théorème des valeurs intermédiaires est un résultat fondamental pour l'étude des fonctions continues :

Définition: Si f est continue sur a,ba,b et k est compris entre faa et fbb, alors il existe c dans a,ba,b tel que fcc = k.

Ce théorème a des applications pratiques importantes :

Exemple: Pour résoudre fxx = 0 quand faa et fbb sont de signes opposés, on peut affirmer l'existence d'une solution dans l'intervalle a,ba,b.

Le corollaire du théorème ajoute une condition d'unicité pour les fonctions strictement monotones.

Cette page est cruciale pour montrer qu'une fonction est continue sur un intervalle et pour appliquer ces connaissances à la résolution de problèmes concrets.

Continuité en un point, sur un intervalle :
Définitions :
Pour toute fonction ƒ définie sur un intervalle I :
▪ On dit que f est continue en

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Applications de la continuité aux suites et récurrences

Cette dernière page explore les implications de la continuité pour les suites et les relations de récurrence, élargissant ainsi la portée du concept.

Propriété: Si une suite unun converge vers l et f est continue en l, alors funun converge vers fll.

Cette propriété est fondamentale pour étudier la continuité d'une fonction en un point à travers des suites convergentes.

Exemple: Pour encadrer une solution de fxx = k avec une précision A, on cherche un intervalle c,dc,d contenant la solution, avec d-c ≤ A.

La page conclut avec une propriété importante concernant les suites définies par récurrence :

Highlight: Pour une suite définie par un+1 = funun, si f est continue et la suite converge vers une limite l, alors l est un point fixe de f, c'est-à-dire fll = l.

Ces applications montrent comment la continuité d'une fonction influence le comportement des suites et des récurrences, offrant des outils précieux pour l'analyse mathématique avancée.

Rien ne te convient ? Explore d'autres matières.

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Stefan S., utilisateur iOS

L'application est très simple à utiliser et bien faite. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais :D

Lola, utilisatrice iOS

J'adore cette application ❤️ Je l'utilise presque tout le temps pour réviser.

 

Maths

808

29 juin 2025

3 pages

Apprends la Continuité d'une Fonction avec des Exercices Simples

La continuité d'une fonction est un concept fondamental en analyse mathématique. Une fonction est continue sur un intervallesi sa courbe peut être tracée sans lever le crayon. Ce résumé explore les définitions, propriétés et théorèmes liés à la continuité,... Affiche plus

Continuité en un point, sur un intervalle :
Définitions :
Pour toute fonction ƒ définie sur un intervalle I :
▪ On dit que f est continue en

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Propriétés et théorème des valeurs intermédiaires

Cette page approfondit les propriétés des fonctions continues et introduit le Théorème des valeurs intermédiaires, un outil puissant en analyse mathématique.

Highlight: Les fonctions polynômes, trigonométriques, exponentielles, et racine carrée sont continues sur leur domaine de définition. De plus, les opérations arithmétiques et la composition préservent la continuité.

Le Théorème des valeurs intermédiaires est un résultat fondamental pour l'étude des fonctions continues :

Définition: Si f est continue sur a,ba,b et k est compris entre faa et fbb, alors il existe c dans a,ba,b tel que fcc = k.

Ce théorème a des applications pratiques importantes :

Exemple: Pour résoudre fxx = 0 quand faa et fbb sont de signes opposés, on peut affirmer l'existence d'une solution dans l'intervalle a,ba,b.

Le corollaire du théorème ajoute une condition d'unicité pour les fonctions strictement monotones.

Cette page est cruciale pour montrer qu'une fonction est continue sur un intervalle et pour appliquer ces connaissances à la résolution de problèmes concrets.

Continuité en un point, sur un intervalle :
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Applications de la continuité aux suites et récurrences

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Propriété: Si une suite unun converge vers l et f est continue en l, alors funun converge vers fll.

Cette propriété est fondamentale pour étudier la continuité d'une fonction en un point à travers des suites convergentes.

Exemple: Pour encadrer une solution de fxx = k avec une précision A, on cherche un intervalle c,dc,d contenant la solution, avec d-c ≤ A.

La page conclut avec une propriété importante concernant les suites définies par récurrence :

Highlight: Pour une suite définie par un+1 = funun, si f est continue et la suite converge vers une limite l, alors l est un point fixe de f, c'est-à-dire fll = l.

Ces applications montrent comment la continuité d'une fonction influence le comportement des suites et des récurrences, offrant des outils précieux pour l'analyse mathématique avancée.

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Définitions et propriétés de la continuité

La continuité d'une fonction est un concept clé en mathématiques, particulièrement important pour les étudiants abordant l'analyse. Cette page présente les définitions formelles et intuitives de la continuité, ainsi que ses propriétés fondamentales.

Définition: Une fonction f est continue en un point a de son domaine si la limite de fxx quand x tend vers a est égale à faa des deux côtés.

Highlight: Graphiquement, une fonction continue peut être tracée sans lever le crayon, tandis qu'une fonction discontinue présente des "cassures" dans sa courbe.

Une propriété importante lie la dérivabilité à la continuité :

Exemple: Si une fonction est dérivable en un point, elle est nécessairement continue en ce point. Cependant, l'inverse n'est pas toujours vrai, comme le montre la fonction racine carrée en zéro.

Cette page fournit une base solide pour comprendre la continuité d'une fonction, essentielle pour aborder des concepts plus avancés en analyse mathématique.

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L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

utilisatrice Android

Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

utilisateur Android

PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

utilisatrice d'Android

Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

utilisatrice iOS

C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

utilisateur IOS

Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

utilisatrice iOS

L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

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Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

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Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

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Esteban M

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Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

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L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

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PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

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C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

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Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

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