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Apprends à Factoriser et Étudier les Polynômes de Degré 2 et 3

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Oriane05

20/06/2022

Maths

fonctions du polynôme de degré 2

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Apprends à Factoriser et Étudier les Polynômes de Degré 2 et 3

Les fonctions polynômes du second degré sont essentielles en mathématiques. Elles se caractérisent par leur forme générale f(x) = ax² + bx + c et leur représentation graphique en parabole. Les propriétés de ces fonctions, notamment leur variation et leurs racines, sont cruciales pour comprendre leur comportement.

• La forme générale d'un polynôme du second degré est f(x) = ax² + bx + c
• La représentation graphique est une parabole avec un sommet et un axe de symétrie
• L'étude des variations et des racines permet de caractériser complètement la fonction
• La forme factorisée polynôme second degré est utile pour déterminer les racines

...

20/06/2022

2336

CHAP 3 LIMAUX ORIANE Fonction du polynôme du second degré 1) Différentes formes de fonctions du polynôme du second degrés Définition: Une fo

Voir

Représentation graphique et variations

Cette section se concentre sur la représentation graphique et les variations des fonctions polynomiales de degré 2. Elle présente deux cas distincts selon le signe du coefficient a.

Pour a > 0, la parabole est tournée vers le haut, tandis que pour a < 0, elle est tournée vers le bas. Le chapitre fournit une méthode pour établir un tableau de variation :

  1. Déterminer le signe de a
  2. Déterminer les coordonnées du sommet S
  3. Construire le tableau

Definition: Un nombre réel a est une racine de la fonction f si faa = 0.

Le chapitre détaille ensuite les coordonnées du sommet de la parabole pour différentes formes de la fonction :

  1. fxx = ax² : S0,00, 0
  2. fxx = ax² + c : S0,c0, c
  3. fxx = ax−x1x - x₁x−x2x - x₂ : S(x1+x2(x₁ + x₂/2, f(x1+x2(x₁ + x₂/2))
  4. fxx = ax² + bx + c : S−b/(2a-b/(2a, f−b/(2a-b/(2a))

Example: Pour fxx = ax² + bx + c, les coordonnées du sommet sont α = -b/2a2a et β = fαα.

CHAP 3 LIMAUX ORIANE Fonction du polynôme du second degré 1) Différentes formes de fonctions du polynôme du second degrés Définition: Une fo

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Polynômes du second degré admettant deux racines

Cette partie traite des polynômes du second degré qui admettent deux racines, distinctes ou confondues. Il est important de noter que toutes les fonctions polynômes du second degré n'admettent pas nécessairement deux racines.

Highlight: Si f admet deux racines x₁ et x₂ distinctesouconfonduesdistinctes ou confondues, alors fxx peut s'écrire sous la forme factorisée fxx = ax−x1x-x₁x−x2x-x₂.

Inversement, si f s'écrit sous cette forme factorisée, alors f admet deux racines qui sont x₁ et x₂.

La représentation graphique d'un polynôme du second degré admettant deux racines est ensuite expliquée. La parabole représentative d'une telle fonction coupe l'axe des abscisses aux points de coordonnées x1,0x₁, 0 et x2,0x₂, 0 si les racines sont distinctes. Dans le cas où x₁ = x₂, il n'y a qu'un seul point d'intersection, qui est le sommet de la parabole.

Le chapitre présente des graphiques illustrant différents cas :

  1. Deux racines distinctes a>0eta<0a > 0 et a < 0
  2. Une racine double x1=x2x₁ = x₂
  3. Aucune racine

Example: Pour une fonction avec deux racines distinctes et a > 0, la parabole est tournée vers le haut et coupe l'axe des x en deux points.

Ces représentations graphiques aident à visualiser le comportement des fonctions polynomiales de degré 2 selon leurs racines et le signe de a.

CHAP 3 LIMAUX ORIANE Fonction du polynôme du second degré 1) Différentes formes de fonctions du polynôme du second degrés Définition: Une fo

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Cas particuliers et représentations graphiques

Cette dernière partie du chapitre se concentre sur les cas particuliers des polynômes de degré 2 et leurs représentations graphiques correspondantes. Elle présente trois situations distinctes : une racine double, aucune racine, et revient sur le cas des deux racines distinctes.

Pour le cas d'une racine double x1=x2x₁ = x₂, la parabole touche l'axe des x en un seul point, qui est également le sommet de la parabole. Ce point de contact unique illustre la notion de tangence entre la parabole et l'axe des abscisses.

Highlight: Dans le cas d'une racine double, le sommet de la parabole se trouve sur l'axe des x, ce qui signifie que la coordonnée y du sommet est zéro.

Le cas où le polynôme n'admet aucune racine est également présenté. Dans cette situation, la parabole ne coupe jamais l'axe des x. Pour a > 0, la parabole se situe entièrement au-dessus de l'axe des x, tandis que pour a < 0, elle se trouve entièrement en dessous.

Example: Une fonction polynôme du second degré sans racine réelle pourrait être fxx = x² + 1, dont la parabole ne coupe jamais l'axe des x.

Le chapitre revient brièvement sur le cas des deux racines distinctes pour compléter la vue d'ensemble. Cette situation est caractérisée par deux points d'intersection entre la parabole et l'axe des x.

Ces différentes représentations graphiques permettent de visualiser comment la forme factorisée d'un polynôme de degré 2 se traduit géométriquement, renforçant ainsi la compréhension du lien entre l'algèbre et la géométrie dans l'étude des fonctions polynomiales du second degré.

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Lola, utilisatrice iOS

J'adore cette application ❤️ Je l'utilise presque tout le temps pour réviser.

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•

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20 juin 2022

•

4 pages

Apprends à Factoriser et Étudier les Polynômes de Degré 2 et 3

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Oriane05

@oriane05_lyro

Les fonctions polynômes du second degré sont essentielles en mathématiques. Elles se caractérisent par leur forme générale f(x) = ax² + bx + c et leur représentation graphique en parabole. Les propriétés de ces fonctions, notamment leur variation et leurs... Affiche plus

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Représentation graphique et variations

Cette section se concentre sur la représentation graphique et les variations des fonctions polynomiales de degré 2. Elle présente deux cas distincts selon le signe du coefficient a.

Pour a > 0, la parabole est tournée vers le haut, tandis que pour a < 0, elle est tournée vers le bas. Le chapitre fournit une méthode pour établir un tableau de variation :

  1. Déterminer le signe de a
  2. Déterminer les coordonnées du sommet S
  3. Construire le tableau

Definition: Un nombre réel a est une racine de la fonction f si faa = 0.

Le chapitre détaille ensuite les coordonnées du sommet de la parabole pour différentes formes de la fonction :

  1. fxx = ax² : S0,00, 0
  2. fxx = ax² + c : S0,c0, c
  3. fxx = ax−x1x - x₁x−x2x - x₂ : S(x1+x2(x₁ + x₂/2, f(x1+x2(x₁ + x₂/2))
  4. fxx = ax² + bx + c : S−b/(2a-b/(2a, f−b/(2a-b/(2a))

Example: Pour fxx = ax² + bx + c, les coordonnées du sommet sont α = -b/2a2a et β = fαα.

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Polynômes du second degré admettant deux racines

Cette partie traite des polynômes du second degré qui admettent deux racines, distinctes ou confondues. Il est important de noter que toutes les fonctions polynômes du second degré n'admettent pas nécessairement deux racines.

Highlight: Si f admet deux racines x₁ et x₂ distinctesouconfonduesdistinctes ou confondues, alors fxx peut s'écrire sous la forme factorisée fxx = ax−x1x-x₁x−x2x-x₂.

Inversement, si f s'écrit sous cette forme factorisée, alors f admet deux racines qui sont x₁ et x₂.

La représentation graphique d'un polynôme du second degré admettant deux racines est ensuite expliquée. La parabole représentative d'une telle fonction coupe l'axe des abscisses aux points de coordonnées x1,0x₁, 0 et x2,0x₂, 0 si les racines sont distinctes. Dans le cas où x₁ = x₂, il n'y a qu'un seul point d'intersection, qui est le sommet de la parabole.

Le chapitre présente des graphiques illustrant différents cas :

  1. Deux racines distinctes a>0eta<0a > 0 et a < 0
  2. Une racine double x1=x2x₁ = x₂
  3. Aucune racine

Example: Pour une fonction avec deux racines distinctes et a > 0, la parabole est tournée vers le haut et coupe l'axe des x en deux points.

Ces représentations graphiques aident à visualiser le comportement des fonctions polynomiales de degré 2 selon leurs racines et le signe de a.

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Cas particuliers et représentations graphiques

Cette dernière partie du chapitre se concentre sur les cas particuliers des polynômes de degré 2 et leurs représentations graphiques correspondantes. Elle présente trois situations distinctes : une racine double, aucune racine, et revient sur le cas des deux racines distinctes.

Pour le cas d'une racine double x1=x2x₁ = x₂, la parabole touche l'axe des x en un seul point, qui est également le sommet de la parabole. Ce point de contact unique illustre la notion de tangence entre la parabole et l'axe des abscisses.

Highlight: Dans le cas d'une racine double, le sommet de la parabole se trouve sur l'axe des x, ce qui signifie que la coordonnée y du sommet est zéro.

Le cas où le polynôme n'admet aucune racine est également présenté. Dans cette situation, la parabole ne coupe jamais l'axe des x. Pour a > 0, la parabole se situe entièrement au-dessus de l'axe des x, tandis que pour a < 0, elle se trouve entièrement en dessous.

Example: Une fonction polynôme du second degré sans racine réelle pourrait être fxx = x² + 1, dont la parabole ne coupe jamais l'axe des x.

Le chapitre revient brièvement sur le cas des deux racines distinctes pour compléter la vue d'ensemble. Cette situation est caractérisée par deux points d'intersection entre la parabole et l'axe des x.

Ces différentes représentations graphiques permettent de visualiser comment la forme factorisée d'un polynôme de degré 2 se traduit géométriquement, renforçant ainsi la compréhension du lien entre l'algèbre et la géométrie dans l'étude des fonctions polynomiales du second degré.

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Différentes formes des fonctions polynômes du second degré

Ce chapitre introduit les fonctions polynomiales de degré 2 et leurs différentes formes d'écriture. Une fonction polynôme du second degré est définie comme une fonction f telle que pour tout x appartenant à R, fxx peut s'écrire sous la forme générale fxx = ax² + bx + c.

Définition: Une fonction polynôme du second degré s'écrit généralement sous la forme fxx = ax² + bx + c, où a, b et c sont des nombres réels et a est non nul.

Il existe plusieurs formes spécifiques pour ces fonctions :

  1. fxx = ax² fonctioncarreˊefonction carrée
  2. fxx = ax² + b
  3. fxx = ax−x1x - x₁x−x2x - x₂

Highlight: La fonction carrée fxx = ax² est un cas particulier de fonction polynôme du second degré.

Le chapitre aborde ensuite la représentation graphique et les variations de ces fonctions. Dans un repère orthogonal, la courbe représentative d'une fonction polynôme du second degré est une parabole.

Vocabulary: Le sommet de la parabole est le point le plus bas ou le plus haut de la courbe, noté S avec ses coordonnées α,βα, β.

Une propriété importante est que la parabole admet un axe de symétrie d'équation x = α.

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Raoul

utilisateur IOS

Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

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Sudenaz Ocak

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PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

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