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Matilda
27/03/2023
Maths
Fonctions, équations et inéquations
Les équations et inéquations sont des concepts mathématiques fondamentaux. Ce guide explique comment résoudre graphiquement une équation f(x)=0 ou f(x)=g(x), ainsi que comment résoudre graphiquement une inéquation. Il aborde également l'étude du signe d'une fonction, y compris comment étudier le signe d'une expression et utiliser un tableau de signe. Des exercices corrigés sont inclus pour pratiquer ces concepts.
27/03/2023
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Cette section explique comment résoudre graphiquement une équation f(x)=0 et f(x)=g(x), ainsi que comment résoudre graphiquement une inéquation.
Pour résoudre graphiquement une équation f(x)=a, on détermine les abscisses des points de la courbe représentative de f dont l'ordonnée est a. Par exemple, pour resoudre graphiquement f(x)=4, on trouve les points où la courbe de f coupe la droite y=4.
Example: Pour l'équation f(x)=4, la solution est S={1,5; 4,75}.
Pour résoudre graphiquement une équation f(x)=g(x), on trouve les abscisses des points d'intersection des courbes représentatives de f et g.
Example: Pour l'équation f(x)=g(x), la solution est S={0; 1,5}.
Pour résoudre graphiquement une inéquation comme f(x)≤6, on détermine les abscisses des points de la courbe de f dont l'ordonnée est inférieure ou égale à 6.
Example: Pour l'inéquation f(x)≤6, la solution est S=]-∞;3]∪[5;+∞[.
Cette méthode graphique offre une approche visuelle pour comprendre et résoudre les équations et inéquations.
Cette page se concentre sur l'étude du signe d'une expression et l'utilisation d'un tableau de signe.
Definition: Une fonction est positive si pour tout x de l'intervalle, f(x) > 0. Elle est négative si pour tout x de l'intervalle, f(x) ≤ 0.
Pour un binôme de la forme ax + b :
Example: Pour ax+b, si a est positif, la droite monte. Si a est négatif, la droite descend.
L'utilisation d'un tableau de signe permet de visualiser clairement les intervalles où la fonction est positive ou négative.
Cette méthode est essentielle pour étudier le signe d'une fonction dérivée et pour résoudre des problèmes plus complexes impliquant des inéquations.
Cette section aborde la résolution algébrique des inéquations et l'étude du signe d'un produit de facteurs.
Pour étudier le signe des expressions suivantes comme (2-5x)(2x+7), on suit ces étapes :
Example: Pour C(x) = (2-5x)(2x+7), les racines sont x=2/5 et x=-7/2.
Le tableau de signe d'un produit permet de visualiser les intervalles où le produit est positif, négatif ou nul.
Highlight: C(x) > 0 pour x ∈ ]-∞;-7/2[∪]2/5;+∞[ et C(x) ≤ 0 pour x ∈ [-7/2;2/5].
Cette méthode est cruciale pour déterminer le signe d'un produit ou d'un quotient dans des expressions plus complexes.
Cette page se concentre sur l'étude du signe d'un quotient, une compétence essentielle pour résoudre des inéquations plus complexes.
Pour étudier le signe d'un quotient comme E(x) = (x+1)/(5+x), on suit ces étapes :
Example: Pour E(x) = (x+1)/(5+x), la racine du numérateur est x=-1, celle du dénominateur est x=-5 (qui est aussi la valeur interdite).
Le tableau de signe permet de visualiser clairement les intervalles où le quotient est positif, négatif ou non défini.
Highlight: E(x) > 0 pour x ∈ ]-∞;-5[∪]-1;+∞[ et E(x) ≤ 0 pour x ∈ ]-5;-1].
Cette méthode est cruciale pour étudier le signe de f(x) dans un tableau pour des fonctions rationnelles.
Cette page propose une série d'exercices corrigés pour pratiquer les concepts appris dans les sections précédentes.
Les exercices incluent :
Example: Résoudre l'inéquation x² < 3x
Ces exercices permettent aux étudiants de mettre en pratique les méthodes de résolution graphique et algébrique, ainsi que l'utilisation des tableaux de signe.
Highlight: Ces exercices corrigés sont essentiels pour maîtriser les concepts d'équations et inéquations.
Cette page d'exercices complète le guide en offrant des opportunités de pratique et d'application des concepts théoriques.
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Les équations et inéquations sont des concepts mathématiques fondamentaux. Ce guide explique comment résoudre graphiquement une équation f(x)=0 ou f(x)=g(x), ainsi que comment résoudre graphiquement une inéquation. Il aborde également l'étude du signe d'une fonction, y compris comment étudier le signe d'une expression et utiliser un tableau de signe. Des exercices corrigés sont inclus pour pratiquer ces concepts.
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Example: Pour l'équation f(x)=4, la solution est S={1,5; 4,75}.
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Example: Pour l'équation f(x)=g(x), la solution est S={0; 1,5}.
Pour résoudre graphiquement une inéquation comme f(x)≤6, on détermine les abscisses des points de la courbe de f dont l'ordonnée est inférieure ou égale à 6.
Example: Pour l'inéquation f(x)≤6, la solution est S=]-∞;3]∪[5;+∞[.
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Example: Pour ax+b, si a est positif, la droite monte. Si a est négatif, la droite descend.
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Example: Pour C(x) = (2-5x)(2x+7), les racines sont x=2/5 et x=-7/2.
Le tableau de signe d'un produit permet de visualiser les intervalles où le produit est positif, négatif ou nul.
Highlight: C(x) > 0 pour x ∈ ]-∞;-7/2[∪]2/5;+∞[ et C(x) ≤ 0 pour x ∈ [-7/2;2/5].
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Pour étudier le signe d'un quotient comme E(x) = (x+1)/(5+x), on suit ces étapes :
Example: Pour E(x) = (x+1)/(5+x), la racine du numérateur est x=-1, celle du dénominateur est x=-5 (qui est aussi la valeur interdite).
Le tableau de signe permet de visualiser clairement les intervalles où le quotient est positif, négatif ou non défini.
Highlight: E(x) > 0 pour x ∈ ]-∞;-5[∪]-1;+∞[ et E(x) ≤ 0 pour x ∈ ]-5;-1].
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Ce chapitre présente les concepts fondamentaux des fonctions, équations et inéquations, avec un accent particulier sur les méthodes de résolution graphique et algébrique. Il est conçu pour aider les étudiants à comprendre et à appliquer ces concepts mathématiques essentiels.
Highlight: Ce guide est créé par Matilda pour aider les étudiants à maîtriser ces concepts mathématiques importants.
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