Géométrie repérée : équations cartésiennes, vecteurs et produit scalaire

Vecteurs et coordonnées

Formules de base

• Norme d'un vecteur : Longueur calculée par $\|u\| = \sqrt{x^2 + y^2}$.
• Milieu $I$ de $[AB]$ : Coordonnées moyennes $I\left(\frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}\right)$.
• Vecteurs colinéaires : $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ont la même direction si $\vec{u} = k\vec{v}$.

Équation cartésienne

Toute droite a une équation de la forme $ax + by + c = 0$.

• Vecteur directeur : Le vecteur $\vec{u}(-b; a)$ dirige la droite.

Exemple : Pour $2x - 3y + 1 = 0$, le vecteur directeur est $\vec{u}(3; 2)$.

💡 Astuce : Attention aux signes pour $\vec{u}(-b; a)$, le premier terme prend l'opposé de $b$.

Droites et produit scalaire

Équation réduite et orthogonalité

• Équation réduite : De forme $y = mx + p$ avec le coefficient directeur $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$.
• Vecteur normal : Le vecteur $\vec{n}(a; b)$ est perpendiculaire à la droite $ax + by + c = 0$.

Produit scalaire et colinéarité

• Colinéarité : Déterminant nul, soit $ab' - a'b = 0$.
• Orthogonalité : $\vec{u} \cdot \vec{v} = aa' + bb' = 0$ si les vecteurs sont perpendiculaires.

💡 Astuce : Pour trouver l'intersection de deux droites, résous simplement leur système d'équations.