Légende alternative :

(+XB, YA+YB, ZA+ZB 2 2 0 0 k M M vart- N N Calcul de coordonnées : (0; i, j, k) est un repère de l'espace. A(xa ; Ya ; Za) et B(xß ; YÅ ; ZÂ) sont deux points de l'espace. (XB-XA Les coordonnées du vecteur AB sont AB YB - YA ZB - ZA Vecteurs colinéaires dans l'espace : Définition et propriétés : (x = kx' Deux vecteurs yet y' sont colinéaires si 3! k € R tel que u = kv⇒ y = ky'. = (*) et ³ (*) z = kz' Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement s'ils ont la même direction. Trois points A, B et C de l'espace sont alignés si et seulement si les vecteurs AB et AC sont colinéaires. Caractérisation d'une droite dans l'espace : Définitions : Caractérisation d'un plan dans l'espace : que AM = KAB où Vecteurs coplanaires : Définition : A A et B sont deux points distincts de l'espace. La droite (AB) est l'ensemble des points M de l'espace tels KER. AB est un vecteur directeur de la droite (AB). E H ▪ Ainsi, une droite (d) est définie par un point A et un vecteur directeur u; on la note d (A, u). u, vet w sont des vecteurs de l'espace. O, A, B et C sont des points tels que u = OA, v=OB, W = OC. (d) ▪ Ainsi, un plan P est défini par un point A et deux vecteurs directeurs u et non E colinéaires ; on le note P(A, u, v). Les vecteurs u, vet w sont dits « coplanaires » si les points 0, A, B et C sont coplanaires, c'est-à-dire dans le même plan. u A B Définitions : A, B et C sont trois points de l'espace non alignés. B Le plan (ABC) est l'ensemble des points M de l'espace tels que AM = xAB + YAC u P D où x, y E R. A AB et AC sont des vecteurs directeurs du plan (ABC). W O B C F D V F ******** A D C B H E C G C G Propriété : i et v sont deux vecteurs de l'espace non colinéaires. Les vecteurs u, v et w sont coplanaires si et seulement si w est combinaison linéaire de û et v, autrement dit, si et seulement si 3! a, b E R tels que w = au + bv. Position relative de deux droites de l'espace : Deux droites de l'espace sont coplanaires si elles appartiennent à un même plan. Propriétés : d (A,u) et d'(B, v) sont deux droites de l'espace. Si u et v sont colinéaires alors (d) et (d') sont parallèles. Si u et ne sont pas colinéaires, alors (d) et (d') sont sécantes lorsqu'elles ont un point commun, non coplanaires sinon. Droites parallèles ū A (d) H Just (d') C E (d) ū et v colinéaires u A B D Droites coplanaires H W F G B Droites sécantes F (d), G ū Position relative d'une droite et d'un plan de l'espace : d (A, ū) est une droite de l'espace et P (C, v, w) est un plan de l'espace. Propriétés : ū, iet w coplanaires La droite (d) est parallèle au plan P si u, et w sont coplanaires. Si u, v et w ne sont pas coplanaires, alors (d) et P sont sécants en un point. Droite et plan parallèles H A D E V H B W C B P F G (d') u et non colinéaires F CU G Droites non coplanaires (d) (d) ū A D u E H H P B W Droite et plan sécants (d) E F (d') B Ic Haz V F G G ū, vet w non coplanaires Position relative de deux plans de l'espace : Propriétés : Deux plans sont parallèles si et seulement si deux vecteurs directeurs de l'un peuvent être deux vecteurs directeurs de l'autre. Ils sont de plus confondus lorsqu'ils ont un point en commun. Deux plans sont sécants lorsqu'ils ne sont pas parallèles. Leur intersection est une droite. Plans parallèles E A D H₂ P' P B C PnP = 0 F G Plans sécants (selon une droite) E F A D B P. P G 7C POP' = d