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Laeti
10/12/2022
Maths
La Continuité
La continuité des fonctions continues est un concept fondamental en analyse mathématique. Ce document explore la notion de continuité, ses propriétés et applications, notamment le théorème des valeurs intermédiaires pour fonctions continues.
Points clés :
10/12/2022
541
Cette page se concentre sur le théorème des valeurs intermédiaires et ses applications, un résultat fondamental en analyse réelle qui découle de la continuité d'une fonction sur un intervalle.
Le TVI énonce que pour une fonction f continue sur un intervalle fermé , toute valeur k comprise entre f et f est atteinte par la fonction pour au moins un point c de l'intervalle .
Définition: Soit f continue sur . Pour tout k compris entre f et f, il existe au moins un réel c dans tel que f = k.
Ce théorème a plusieurs conséquences importantes :
Highlight: Le TVI est particulièrement utile pour prouver l'existence de solutions à des équations sans nécessairement les calculer explicitement.
Le document présente également un cas particulier important pour les fonctions strictement monotones :
Théorème: Si f est continue et strictement croissante sur , alors pour tout k compris entre f et f, l'équation f = k admet une unique solution dans .
Cette version renforcée du TVI garantit non seulement l'existence mais aussi l'unicité de la solution, ce qui est crucial dans de nombreuses applications.
Exemple: Le TVI peut être utilisé pour démontrer que toute équation polynomiale de degré impair admet au moins une racine réelle.
La page se termine en mentionnant le concept d'intervalle image, qui est directement lié au TVI. Pour une fonction continue sur un intervalle fermé, son image est également un intervalle fermé.
Vocabulaire: La convergence uniforme suite de fonction est un concept plus fort que la convergence simple et est souvent utilisée en conjonction avec le TVI dans des démonstrations plus avancées.
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Le TVI énonce que pour une fonction f continue sur un intervalle fermé , toute valeur k comprise entre f et f est atteinte par la fonction pour au moins un point c de l'intervalle .
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Ce théorème a plusieurs conséquences importantes :
Highlight: Le TVI est particulièrement utile pour prouver l'existence de solutions à des équations sans nécessairement les calculer explicitement.
Le document présente également un cas particulier important pour les fonctions strictement monotones :
Théorème: Si f est continue et strictement croissante sur , alors pour tout k compris entre f et f, l'équation f = k admet une unique solution dans .
Cette version renforcée du TVI garantit non seulement l'existence mais aussi l'unicité de la solution, ce qui est crucial dans de nombreuses applications.
Exemple: Le TVI peut être utilisé pour démontrer que toute équation polynomiale de degré impair admet au moins une racine réelle.
La page se termine en mentionnant le concept d'intervalle image, qui est directement lié au TVI. Pour une fonction continue sur un intervalle fermé, son image est également un intervalle fermé.
Vocabulaire: La convergence uniforme suite de fonction est un concept plus fort que la convergence simple et est souvent utilisée en conjonction avec le TVI dans des démonstrations plus avancées.
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La continuité d'une fonction est un concept clé en analyse mathématique. Cette page introduit les définitions fondamentales de la continuité sur un réel et sur un intervalle.
Pour une fonction f définie sur un intervalle I et un réel a appartenant à I, f est continue en un point a si la limite de f quand x tend vers a est égale à f. Cela signifie que la fonction ne présente pas de "saut" ou de "trou" en ce point.
Définition: Une fonction f est continue sur un intervalle I si elle est continue en tout réel a de I.
La continuité sur un intervalle implique que la fonction ne présente aucune discontinuité sur l'ensemble de cet intervalle. Cette propriété est cruciale pour de nombreux théorèmes en analyse.
Highlight: Si une fonction est dérivable sur un intervalle I, alors elle est automatiquement continue sur cet intervalle.
Le document présente également des exemples de fonctions continues et discontinues, illustrant graphiquement ces concepts pour une meilleure compréhension.
Exemple: La fonction partie entière n'est pas continue en chaque valeur entière, car elle présente des "sauts" à ces points.
La page se termine en énumérant plusieurs fonctions continues courantes, telles que les polynômes, l'exponentielle, la racine carrée, et les fonctions trigonométriques. Ces fonctions sont continues sur leurs domaines de définition respectifs.
Vocabulaire: La convergence simple d'une série de fonction est liée à la continuité. Si une suite converge vers un réel l et que f est continue sur I, alors la suite ) converge vers f.
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L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.
Stefan S
utilisateur iOS
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utilisatrice Android
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Anna
utilisatrice iOS
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Thomas R
utilisateur d' Android
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Esteban M
utilisateur d'Android
Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment
Leny
utilisateur d'Android
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Sudenaz Ocak
utilisateur Android
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Greenlight Bonnie
utilisateur Android
PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰
Khady
utilisatrice d'Android
Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!
Claire
utilisatrice iOS
C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩
Raoul
utilisateur IOS
Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands
Ella
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