Fondations du Logarithme

Définition et Propriétés

Le logarithme népérien $ln(x)$ est la fonction réciproque de l'exponentielle $e^x$.

• Relation clé : $e^{ln(x)} = x$ pour tout $x > 0$, et $ln(e) = 1$.
• Règles de calcul : $ln(ab) = ln(a) + ln(b)$ et $ln(\frac{a}{b}) = ln(a) - ln(b)$.
• Puissances : $ln(a^n) = n \cdot ln(a)$ et $ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2}ln(a)$.

Dérivée et Limites

• Dérivée : $(ln(x))' = \frac{1}{x}$, la fonction est donc strictement croissante sur $]0; +\infty[$.
• Croissance comparée : $\lim_{x \to +\infty} \frac{ln(x)}{x} = 0$.

⚠️ Attention : Le logarithme $ln(x)$ n'est défini que pour des nombres strictement positifs ($x > 0$).

Composées et Puissances

Dériver $ln(u)$

• Formule : si $u$ est positive et dérivable, alors $(ln(u))' = \frac{u'}{u}$.

Exemple : Pour $f(x) = ln(3x^2 + 5)$ : $f'(x) = \frac{6x}{3x^2 + 5}$

Puissance d'un Réel

Pour tout réel $a > 0$ et $b$ quelconque, on utilise l'exponentielle pour définir les puissances.

• Formule : $a^b = e^{b \cdot ln(a)}$.
• Règle utile : $ln(a^b) = b \cdot ln(a)$.

💡 Astuce : Pense toujours à vérifier que $u(x) > 0$ avant de calculer la dérivée de $ln(u)$.