Page 2 : Démonstration mathématique

Cette page approfondit la théorie derrière les équations cartésiennes en fournissant une démonstration mathématique rigoureuse. Elle montre comment l'équation d'une droite est dérivée à partir de la colinéarité des vecteurs.

Highlight : La démonstration utilise deux points D$xD, yD$ et E$xE, yE$ appartenant à la droite d pour établir l'équation générale.

La page explique en détail les étapes mathématiques pour arriver à l'équation ax + by + c = 0, en utilisant les propriétés des vecteurs colinéaires. Cette démonstration est cruciale pour comprendre la relation entre la géométrie et l'algèbre dans le contexte des équations cartésiennes.

Vocabulaire : Colinéaire - Se dit de vecteurs qui ont la même direction, c'est-à-dire qu'ils sont parallèles ou alignés sur la même droite.

Page 3 : Exercice pratique et équation réduite

Cette page présente un exercice pratique pour déterminer l'équation d'une droite passant par deux points donnés. Elle illustre également le concept d'équation réduite d'une droite.

Exemple : Pour trouver l'équation de la droite $AB$ passant par A$3, 4$ et B$-1, 5$, on calcule d'abord le vecteur directeur AB = $-4, 1$, puis on utilise ces informations pour établir l'équation 1x + 4y - 19 = 0.

La page introduit ensuite le concept d'équation réduite d'une droite, qui est de la forme y = mx + p, où m représente la pente de la droite et p l'ordonnée à l'origine.

Définition : L'équation réduite d'une droite est une forme simplifiée de l'équation cartésienne, exprimée en fonction de y.

Cette présentation aide les étudiants à faire le lien entre les différentes formes d'équations de droites et leurs significations géométriques.

Page 4 : Droites sécantes et systèmes d'équations

Cette page aborde le concept de droites sécantes et introduit les systèmes d'équations comme moyen de trouver leur point d'intersection. Elle présente les conditions pour que deux droites soient sécantes et explique comment résoudre un système d'équations linéaires.

Définition : Deux droites sont sécantes si et seulement si ab' ≠ a'b, où a, b, a', et b' sont les coefficients de leurs équations respectives.

La page explique que le point d'intersection de deux droites sécantes est la solution unique d'un système d'équations formé par les équations de ces droites. Elle introduit deux méthodes principales pour résoudre ces systèmes : la méthode par substitution et la méthode par combinaison linéaire.

Highlight : Un système d'équations à deux inconnues est composé de deux équations qui doivent admettre une solution commune pour que cette solution soit solution du système.

Cette section est cruciale pour comprendre comment les équations cartésiennes peuvent être utilisées pour résoudre des problèmes géométriques concrets.

Page 5 : Méthode de substitution

Cette page détaille la méthode de substitution pour résoudre un système d'équations linéaires. Elle fournit un exemple pas à pas pour illustrer cette technique.

Exemple : Pour résoudre le système {x - 2y + 5 = 0, 2x + 3y - 7 = 0}, on isole x dans la première équation : x = 2y - 5. Puis on substitue cette expression dans la deuxième équation pour obtenir une équation à une seule inconnue.

La méthode de substitution est expliquée en détail, montrant comment isoler une inconnue dans une équation, la substituer dans l'autre, puis résoudre l'équation résultante pour trouver la valeur d'une inconnue. Ensuite, cette valeur est utilisée pour trouver l'autre inconnue.

Highlight : La méthode de substitution est particulièrement utile lorsqu'une des équations du système peut être facilement résolue pour une des inconnues.

Cette approche est essentielle pour résoudre des problèmes impliquant des équations cartésiennes de droites sécantes.

Page 6 : Méthode par combinaison linéaire

Cette dernière page présente la méthode par combinaison linéaire, également appelée méthode par composition, pour résoudre un système d'équations linéaires. Elle utilise le même exemple que la page précédente pour comparer les deux méthodes.

Exemple : Pour le système {x - 2y + 5 = 0, 2x + 3y - 7 = 0}, on multiplie la première équation par 2 et on l'ajoute à la deuxième pour éliminer x, obtenant ainsi une équation à une seule inconnue.

La méthode par combinaison linéaire est expliquée étape par étape, montrant comment manipuler les équations pour éliminer une des inconnues et résoudre le système.

Highlight : Cette méthode est particulièrement efficace lorsque les coefficients des inconnues dans les deux équations permettent une élimination facile par addition ou soustraction.

La page conclut en montrant que les deux méthodes aboutissent à la même solution, renforçant la compréhension des systèmes d'équations et leur application dans la résolution de problèmes impliquant des droites sécantes.

Page 1 : Introduction aux équations cartésiennes

Cette page présente les concepts de base des équations cartésiennes et des vecteurs directeurs. Elle explique comment une droite peut être représentée mathématiquement dans un plan cartésien.

Définition : Un vecteur directeur d'une droite est tout vecteur AB où A et B sont deux points distincts de la droite.

Highlight : Pour chaque droite, il existe une infinité de vecteurs directeurs.

L'équation générale d'une droite dans un repère $O, i, j$ est présentée sous la forme ax + by + c = 0, où a, b et c sont des constantes réelles. Cette page explique également comment déterminer si un point appartient à une droite en vérifiant s'il satisfait l'équation.

Exemple : Pour l'équation de droite 2x + 3y - 7 = 0, le point A$2, 1$ appartient à la droite car 2$2$ + 3$1$ - 7 = 0, tandis que B$2, 2$ n'y appartient pas.